Stationärer Punkt. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

Question

Die Funktion f(x1,x2)=5+6x₁−8x₂+2x₁²−2x₁x₂+3x₂²

besitzt genau einen stationären Punkt (x1,x2). Bestimmen Sie diesen. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

a. Es gilt x1=−1
b. Es gilt x2=1
c. In (x1,x2) liegt ein globales Maximum vor. 
d. Es gilt x1=x2
e. In (x1,x2) liegt ein globales Minimum vor.

Comments

Zuerst kannst du mal  WolframAlpha befragen:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize+5+%2B+6%C2%B7x+-+8%C2%B7y+%2B+2%C2%B7x%5E2+-+2%C2%B7x%C2%B7y+%2B+3%C2%B7y%5E2

Richtige Antworten in deiner Frage sind also a) b) und e)

Answer 1

Hallo,

Es sei:

x1=x

x2=y

\( 5+6 x-8 y+2 x^{2}-2 x y+3 y^{2}=-2 \) at \( (x, y)=(-1,1) \quad \) (minimum)

a ,b , e sind richtig.

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Und das findet man, indem die Gleichung nach der ersten Variablen abgeleitet und die Ableitung gleich Null gesetzt wird, sowie dasselbe für die zweite Variable. Das ergibt ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Dessen Lösung ist die Koordinate des stationären Punkts.

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Wesentlich dafür, dass dieses lokale Minimum auch ein globales Minimum ist, ist die Tatsache, dass es sich dabei um die einzige lokale Extremstelle handelt.