Aloha :)
Wir betrachten zwei konvergente Folgen \((a_n)\to a\) und \((b_n)\to b\) reeller Zahlen mit \(b\ne0\). Wie du geschrieben hast, ist dir aus der Vorlesung bereits bekannt, dass das Produkt zweier konvergenter reeller Folgen gegen das Produkt der Grenzwerte konvergiert. Daher empfehle ich, die Quotienten-Folge \(\left(\frac{a_n}{b_n}\right)\) auf den bekannten Fall der Produkt-Folge \(\left(a_n\cdot\frac{1}{b_n}\right)\) zurückzuführen. Dann reicht es zu zeigen, dass die Folge \(\left(\frac{1}{b_n}\right)\to\frac{1}{b}\) konvergiert.
Da \(b\ne0\) ist, gibt es ein \(n_0\in\mathbb{N}\), sodass \(\left|b_n-b\right|<\frac{|b|}{2}\) für alle \(n\ge n_0\). Daraus folgt $$|b_n|\ge\frac{|b|}{2}\;\;;\;\;n\ge n_0\quad\text{bzw.}\quad\frac{1}{|b_n|}\le\frac{2}{|b|}\;\;;\;\;n\ge n_0$$Das heißt insbesondere \(b_n\ne0\) für alle \(n\ge n_0\). Wir brauchen also keine Sorge zu haben, dass wir durch \(0\) dividieren. Wählen wir nun ein \(\varepsilon>0\) beliebig, dann gibt es ein \(n_1\in\mathbb{N}\), sodass:$$\left|b_n-b\right|<\frac{\varepsilon|b|^2}{2}\quad;\quad n\ge n_1$$Für \(n\ge\max\{n_0;n_1\}\) sind beide Ungleichungen erfüllt und wir erhalten:
$$\left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\right|=\left|\frac{b-b_n}{b_nb}\right|=\frac{1}{|b_n|}\cdot\frac{1}{|b|}\cdot\left|b-b_n\right|<\frac{2}{|b|}\cdot\frac{1}{|b|}\cdot\frac{\varepsilon|b|^2}{2}=\varepsilon$$
Damit haben wir gezeigt, dass:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{b_n}\right)=\frac{1}{b}$$
