Grenzwert von Qoutient beweisen

Question

Wir haben in der Vorlesung bewiesen, dass das Produkt von zwei konvergenten Folgen (a_n) und (b_n) gegen das Produkt der Grenwerte a*b konvergiert. Nun habe ich als Übung folgende Aufgabe vorliegen:

Quotient konvergenter Folgen:

Seien (a_n) und (b_n) konvergente Folgen reeller Zahlen mit (a_n)->a und (b_n)->b, wobei b!=0. Dann ist auch die Folge (a_n/b_n) konvergent und ihr Grenzwert ist (a/b).

Ich habe das versucht, wie in der Vorlesung zu machen, aber ich kriege das einfach nicht hin. Vielleicht kann mir ja jemand helfen?

Emil

Comments

Schau dir mal den Beweis hier an. Dabei geht es zwar um das Produkt konvergenter Folgen, aber vielleicht hilft es dir ja weiter...

https://www.mathelounge.de/676104/cn-an-bn-konvergent

---

Danke Patricia für den Link, der ist super!

Da wird bewiesen, dass das Produkt von 2 konvergenten Folgen gegen das Produkt der Grenzwerte konvergiert. Das haben wir auch in der Vorlesung gezeigt.

Allerdings ist der Beweis bei dem Link super gut erklärt und verständlich. Den habe ich sofort verstanden!!! Unser Professor hat 2 Tafelseiten mit Kreide gefüllt und am Ende hat eigentlich niemand genau verstanden, was er gemacht hat.

Ich weiß aber noch nicht so recht, wie ich das auf den Quotienten übertragen kann...

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten zwei konvergente Folgen $(a_n)\to a$ und $(b_n)\to b$ reeller Zahlen mit $b\ne0$. Wie du geschrieben hast, ist dir aus der Vorlesung bereits bekannt, dass das Produkt zweier konvergenter reeller Folgen gegen das Produkt der Grenzwerte konvergiert. Daher empfehle ich, die Quotienten-Folge $\left(\frac{a_n}{b_n}\right)$ auf den bekannten Fall der Produkt-Folge $\left(a_n\cdot\frac{1}{b_n}\right)$ zurückzuführen. Dann reicht es zu zeigen, dass die Folge $\left(\frac{1}{b_n}\right)\to\frac{1}{b}$ konvergiert.

Da $b\ne0$ ist, gibt es ein $n_0\in\mathbb{N}$, sodass $\left|b_n-b\right|<\frac{|b|}{2}$ für alle $n\ge n_0$. Daraus folgt $$|b_n|\ge\frac{|b|}{2}\;\;;\;\;n\ge n_0\quad\text{bzw.}\quad\frac{1}{|b_n|}\le\frac{2}{|b|}\;\;;\;\;n\ge n_0$$Das heißt insbesondere $b_n\ne0$ für alle $n\ge n_0$. Wir brauchen also keine Sorge zu haben, dass wir durch $0$ dividieren. Wählen wir nun ein $\varepsilon>0$ beliebig, dann gibt es ein $n_1\in\mathbb{N}$, sodass:$$\left|b_n-b\right|<\frac{\varepsilon|b|^2}{2}\quad;\quad n\ge n_1$$Für $n\ge\max\{n_0;n_1\}$ sind beide Ungleichungen erfüllt und wir erhalten:

$$\left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\right|=\left|\frac{b-b_n}{b_nb}\right|=\frac{1}{|b_n|}\cdot\frac{1}{|b|}\cdot\left|b-b_n\right|<\frac{2}{|b|}\cdot\frac{1}{|b|}\cdot\frac{\varepsilon|b|^2}{2}=\varepsilon$$

Damit haben wir gezeigt, dass:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{b_n}\right)=\frac{1}{b}$$