Grenzwet von einer Reihe berechnen

Question

Aufgabe:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) 1/n³  \( \sum\limits_{i=1}^{n}{i(i+1)} \)   

Answer 1

Hallo,

es gilt:$$\sum_{i=1}^{n}{i(i+1)}=\sum_{i=1}^{n}{i^2+i}=\sum_{i=1}^{n}i^2 +\sum_{i=1}^{n}i=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$$ also:$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{3n^2}=\frac{1}{3}$$

Comments

Hallo,

Danke erst mal für die schnelle Antwort.

Ein Zwischenschritt hab ich aber nicht verstanden. und zwar wie bist du auf 1/3n(n+1)(n+2) gekommen ?

Gruß

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Hallo,

das sind bekannte Summenformeln für Quadratzahlen und die Gaußsche Summenformel.

https://www.math.uni-bielefeld.de/~ringel/puzzle/puzzle02/summen3.htm

https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel

Answer 2

Zuerst den Term hinter lim vereinfachen: \( \frac{n(2n+1)(n+1)}{6n^3} \) +\( \frac{n(n+1)}{2n^3} \) und weiter \( \frac{1}{3} \) +\( \frac{1}{2n} \) +\( \frac{1}{6n^2} \) +\( \frac{1}{2n} \) +\( \frac{1}{n^2} \) .Für n→∞ gehen alle Summanden außer \( \frac{1}{3} \) gegen 0.