Anzahl linearer Abbildungen in Z^2_{2}

Question

Hallo,

ich hoffe ihr könnt mir mal wieder helfen.

a)Bestimmen Sie die Anzahl aller linearen AbbildungenZ²2(die hintere 2 soll tiefgestellt sein)→Z²_{2} (die hintere 2 soll tiefgestellt sein).

b) Geben Sie explizit alle bijektiven linearen Abbildungen Z²2(die hintere 2 soll tiefgestellt sein)→Z²2(die hintere 2 soll tiefgestellt sein)an.

Ich habe leider so gar keinen Ansatz. Könnt ihr mir vielleicht helfen.

Comments

Es gibt nicht so viele lineare Abbildungen \(\mathbb{Z}_2^2\to\mathbb{Z}_2^2\), für jede Abbildung wählst du zwei mal eins von vier Elementen aus (Stichwort Erzeuger). Von diesen prüfst du einfach nach, ob sie bijektiv sind.

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Ok danke schon mal für die Antwort. Tu mich sehr schwer mit dem Thema und den Begrifflichkeiten.

Also wenn ich das richtig verstanden habe bilde ich erstmal die 4 Elemente, dass wären dann (0,0);(0,1);(1,0);(1;1).

Oder? Aber wie bekomme ich jetzt die Anzahl der Abbildungen raus?

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Hallo

da linear wird (0,0) immer auf (0,0) abgebildet.

dann kannst du aussuchen auf was du (0,1) abbildest auf sich selbst, auf (0,0) auf ....

dann auf was du (1,0) abbildest, für (1,1) als Summe der 2 hast du dann keine Auswahl mehr.

Also schreib mal alle auf und dann such für b) die bijektiven raus.

lul

Answer 1

Die Anzahl der linearen Abbildungen ist gleich der Anzahl der \(2\times 2\)-Matrizen

mit Einträgen in \(\mathbb{Z}_2\), d.h. \(=2^4=16\).

Die bijektiven Abbildungen werden durch die Matrizen

\(\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\) dargestellt, deren Determinante \(ad-bc\neq 0\) ist.

\(ad\neq bc\) ist genau in folgenden Fällen erfüllt:

1. \(a=0\vee d=0\Rightarrow b=c=1\)

2. \(b=0\vee c=0\Rightarrow a=d=1\).

Das sind genau \(3+3=6\) bijektive Abbildungen.