Hallo,
deine Determinantenfunktion erfüllt die üblichen Eigenschaften der Standarddetermiante im K^n, daher könnte man die Aufgabe auch durch Zeilen und Spaltenumformungen lösen:
Die Determinante sieht so aus:
$$D=\begin{vmatrix} \lambda_1+1 & \lambda_1 & \lambda_1\\ \lambda_2 & \lambda_2+1 & \lambda_2\\ \lambda_n & \lambda_n & \lambda_n+1 \end{vmatrix}\\$$
(wobei da natürlich überall schräg Leerstellen/Punkte sein sollen, es geht ja nur ums Prinzip).
Du kannst nun die letzte Spalte von allen anderen Spalten anziehen, ohne die Determinante zu verändern:
$$D=\begin{vmatrix} 1 & 0 & \lambda_1\\ 0 & 1 & \lambda_2\\ -1 & -1 & \lambda_n+1 \end{vmatrix}\\$$
Und jetzt addiert man die erste Spalte, die zweite Spalte usw. zur letzten Zeile , es bleibt:
$$ D=\begin{vmatrix} 1 & 0 & \lambda_1\\ 0 & 1 & \lambda_2\\ 0 & 0 & 1+\lambda_1 +...\lambda_n \end{vmatrix}\\$$
Das ist eine obere Dreiecksmatrix, deren Determinante gerade dem Produkt der Hauptdiagonalen entspricht.
$$D=1+\lambda_1 +...\lambda_n$$
