Wie nennt sich die Funktion 3. Grades, wenn sie die gleichen NS von Funktion g(x)=x²-x-2 hat.

Question

 ich habe eine Hausaufgabe aufbekommen. Nur leider bin ich eine Mathe Niete und stehe ziemlich auf dem Schlauch, wenn es darum geht, etwas selbst zu interpretieren bzw. verstehen um die Aufgabe zu lösen.

Meine Aufgabe heißt: Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat die gleichen Nullstellen wie die Funktion g(x)= x² −x−2. Sie schneidet die y-Achse im Pumkt P(0;2) und hat dort den Anstieg −3. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Ich weiß nicht wie ich an die Sache herangehen soll.
Bisher habe ich die Nullstellen der Funktion g(x) mit −1|2
Außerdem habe ich das "Grundgerüst" (?) für die Fkt. 3. Grades, also:

f(x)= ax³+ bx² + cx +d
und die 1. Ableitung/ Anstieg
f′(x)= 3ax² + 2bx +c
 

  :c

Answer 1

Meine Aufgabe heißt: Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat die gleichen Nullstellen wie die Funktion g(x)= x² −x−2. Sie schneidet die y-Achse im Pumkt P(0;2) und hat dort den Anstieg −3. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Ich weiß nicht wie ich an die Sache herangehen soll.

Bisher habe ich die Nullstellen der Funktion g(x) mit −1|2
Außerdem habe ich das "Grundgerüst" (?) für die Fkt. 3. Grades, also:

f(x)= ax³+ bx² + cx +d
und die 1. Ableitung/ Anstieg
f′(x)= 3ax² + 2bx +c
 

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat die gleichen Nullstellen wie die Funktion g(x)= x² −x−2. Sie schneidet die y-Achse im Pumkt P(0;2) und hat dort den Anstieg −3.

Die Funktionsgleichung faktorisieren und so die Nullstellen bestimmen

g(x) = x² - x - 2 = (x-2)(x+1)               Du musst hier ein bisschen pröbeln. Aber da f(x) die gleichen Nullstellen hat und P(0,2) angegeben ist, weisst du dass ein Faktor (x-2) ist. Das hast du schon geschafft.

Da ausserdem f(x) in x = 2 nicht die Steigung 0 hat, ist das dort nur eine einfache Nullstelle.

Bei der Faktorisierung von f(x) ist nun wegen der vorgegebenen Nullstellen nur folgender Ansatz denkbar:

f(x) = a (x-2)¹ (x+1)^k

Nun weisst du aus dem ersten Teil deines Grundgerüsts, dass x^3 als höchste Potenz von x vorkommen muss. Deshalb ist k=2

Also

f(x) = a (x-2)(x+1)²   = a (x-2)(x² + 2x + 1) = a (x^3 + 2x^2 + x - 2x^2 - 4x -2)

        =  a (x^3  - 3x -2) = a x^3 - 3ax - 2a

nun zu 

"und die 1. Ableitung/ Anstieg

f′(x)= 3ax² + 2bx +c"

Wir haben f(x) =  a x^3 - 3ax - 2a

und f ' (x) = 3a x^2 - 3a

Jetzt  muss da an der Stelle x=2 die Steigung -3 rauskommen.

- 3 = 3a*8 - 3a          

-3 = 24a -3a = 21a

-1/7 = a

Also

f(x) = - 1/7 x^3 + 3/7 x + 2/7

Kontrolle: Sieht so aus:

 

Answer 2

Eine ganzrationale Funktion  p  dritten Grades, die die gleichen Nullstellen hat wie  g , hat allgemein die Form

p(x) = c(x-a)g(x)

mit geeigneten Zahlen a und c. Für die Ableitung gilt nach der Produktregel

p'(x) = c[g(x) + (x-a)g'(x)].

Außerdem ist g'(x) = 2x -1.

Der Punkt P(0|2) liegt auf dem Graphen von p heißt

p(0) = 2 ⇔ c(0-a)g(0) = 2⇔ ac = 1.

Die Steigung von  p  im Punkt P(0|2) ist -3 heißt

p'(0) = -3 ⇔ c[g(0) + (0-a)g'(0)] = -3 ⇔ c(a-2) = -3 ⇔ ac = 2c-3.

Es entsteht ein lineares Gleichungssystem für a und c.

Die Lösung ist c = 2 und a = 1/2.

Demnach lautet die gesuchte Funktion

p(x) = 2x³ - 3x² - 3x + 2.