Determinante einer symmetrischen n×n-Matrix aus Quadratzahlen bestimmen

Question

ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Berechnen Sie die Determinante der \(n×n \)-Matrix \(A\)\( = (a_{ij})\) mit den Einträgen

\(a_{ij} = (i+j-1)^{2} \)

Habt ihr einen Tipp für mich?

Comments

Es ist \(\begin{pmatrix}1&4&9&16\\4&9&16&25\\9&16&25&36\\16&25&36&49\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}\). Daher ist die Determinante für alle \(n\ge4\) gleich Null.

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Sorry, das ist leider falsch und gilt nur für n=4. Kann gelöscht werden.

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Danke trotzdem! :)

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Die Methode scheint für n≥4 doch zu funktionieren.$$\left(\begin{array}{cccc|ccc}1^2&2^2&3^2&4^2&*&\dots&*\\2^2&3^2&4^2&5^2&*&\dots&*\\3^2&4^2&5^2&6^2&*&\dots&*\\4^2&5^2&6^2&7^2&*&\dots&*\\\hline5^2&6^2&7^2&8^2&*&\dots&*\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\n^2&(n+1)^2&(n+2)^2&(n+3)^2&*&\dots&*\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\-3\\3\\-1\\\hline0\\\vdots\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\\hline0\\\vdots\\0\end{array}\right),$$denn für jede k-te Zeile ist \(1\cdot k^2-3\cdot(k+1)^2+3\cdot(k+2)^2-1\cdot(k+3)^2+0\cdot*=0\).

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Ahh, das ergibt Sinn; klasse, vielen Dank!!!! :)

Answer 1

Für n=1,2,3 ist die Determinante der Matrizen 1,-7,-8, der Rang der Matrizen 1,2,3

Für n≥4 ist die Determinante der Matrizen 0, der Rang der Matrizen bleibt 3.

Matrix einfach mal hinschreiben: 

\( \begin{pmatrix} 1 & 4& 9 & 16& ... & n^2 \\4 & 9& 16 & 25& ... & (n+1)^2\\9 &16& 25 & 36& ... &(n+2)^2\\16 & 25&36 & 49 & ...& (n+3)^2\\... & ...& ... & ...& ... & ...\\n^2 & (n+1)^2 & (n+2)^2 & (n+3)^2& ... & (2n)^2\end{pmatrix} \)

Letzte Zeile minus die vorletzte, wird zur letzten.

Vorletzte Zeile minus die vorvorletzte, wird zur vorletzten.

\( \begin{pmatrix} 1 & 4& 9 & 16& ... & n^2 \\3 & 5&7 & 9& ... & 2n+1\\5 &7& 9 &11& ... & 2n+3\\7 & 9&11 & 13 & ...& 2n+5\\... & ...& ... & ...& ... & ...\\2n-1 & 2n+1& 2n+3 & 2n+5& ... & 4n-1\end{pmatrix} \)

Letzte Zeile minus die vorletzte, wird zur letzten.

Vorletzte Zeile minus die vorvorletzte, wird zur vorletzten.

\( \begin{pmatrix} 1 & 4& 9 & 16& ... & n^2 \\3 & 5&7 & 9& ... & 2n+1\\2&2& 2 &2& ... & 2\\2 & 2&2 & 2 & ...& 2\\... & ...& ... & ...& ... & ...\\2 & 2& 2 & 2& ... & 2\end{pmatrix} \)

Wegen der identischen Zeilen ist die Determinante 0. Allerdings finde ich die Frage nach dem Rang der Matrix interessanter, weil die Matrix sooo groß ist. Also noch ein paar Umformungen, macht auch Spaß!

Letzte Zeile minus die vorletzte, wird zur letzten.

Vorletzte Zeile minus die vorvorletzte, wird zur vorletzten.

\( \begin{pmatrix} 1 & 4& 9 & 16& ... & n^2 \\3 & 5&7 & 9& ... & 2n+1\\2&2& 2 &2& ... & 2\\0 & 0&0 & 0 & ...& 0\\... & ...& ... & ...& ... & ...\\0& 0& 0 & 0& ... & 0\end{pmatrix} \)

unsystematische Abkürzung, weils so spät ist:

2. Spalte minus 1. wird zur ersten Spalte.

3. minus 2. wird zur zweiten.

4. minus 3. wird zur dritten.

\( \begin{pmatrix} 3 & 5& 7 & 16& ... & n^2 \\2 & 2&2 & 9& ... & 2n+1\\0&0& 0 &2& ... & 2\\0 & 0&0 & 0 & ...& 0\\... & ...& ... & ...& ... & ...\\0& 0& 0 & 0& ... & 0\end{pmatrix} \)

2. Spalte minus 1. wird zur ersten Spalte.

\( \begin{pmatrix} 2 & 5& 7 & 16& ... & n^2 \\0 & 2&2 & 9& ... & 2n+1\\0&0& 0 &2& ... & 2\\0 & 0&0 & 0 & ...& 0\\... & ...& ... & ...& ... & ...\\0& 0& 0 & 0& ... & 0\end{pmatrix} \)

Dies ist eine Dreiecksmatrix, also det = Produkt aller Diagonalenelemente =0. Rang(Matrix) = 3

Comments

Wow, vielen  Dank! Aber wieso stehen in deiner Matrix keine Quadrate? Denn es ist ja \(a_{ij} = (i+j-1)^{2} \). Ist die Determinante dieser Operation gegenüber invariant?

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Lesefehler, still processing!

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Danke, nur weiß ich leider nicht so recht, welche Zeilen-/Spaltenoperationen sich jetzt anbieten. Ich wette, hier muss man irgendwas mit vollständiger Induktion machen...

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............Fertig!

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Vielen lieben Dank! Das ist wirklich mega lieb von dir!!!!  Aber was meinst du mit "sobald man die Nullzeile als 4. Zeile sieht" ? Also für \(n \geq 4 \) ist \(det(A) = 0 \). Hast du das während der Umformungen gemerkt, oder wie ist dir das aufgefallen?

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Vielen Dank, Helmus! Was ich immer noch nicht so ganz verstehe, ist warum bei dir Spalten verschwinden. Du ziehst z.B. zum Ende hin die erste von der zweiten Spalte ab - und lässt dann bei der dadurch entstehenden Matrix die erste Spalte weg. Aber die erste Spalte bleibt doch bestehen?

Ich verstehe dieses "2. Spalte minus 1. wird zur ersten Spalte" nicht. Du ziehst also die erste von der zweiten Spalte ab, in Ordnung; aber wieso verschwindet dann die erste?

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 Wenn ich z.B. hier die 2.Spalte minus die erste rechne, fällt die 2. Spalte ja nicht einfach weg, sondern man erhält

2	2
3	1

\(\to\)

2	0
3	-2

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Diese 3 Schritte werden in einem Aufwasch durchgeführt.

2. Spalte minus 1. wird zur ersten Spalte.

    Die veränderte erste Spalte wird hingeschrieben.

3. alte minus 2. alte wird zur zweiten neuen, hinschreiben.

4. alte minus 3. alte wird zur dritten neuen, hinschreiben

Da stehen jetzt 3 neue Spalten.

Keine Spalte ist "verschwunden"

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Huh? Sorry, aber das will noch nicht so recht in meinen Kopf. Wenn du  Spalte 2 - Spalte 1 rechnest, bleibt die Spalte 1 doch  unverändert? Wieso also "veränderte" 1. Spalte?

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Wenn du  Spalte 2 - Spalte 1 rechnest, bleibt die Spalte 1 doch  unverändert?

Nein, das ist keine Vorschrift. ich darf die 2. oder die erste ersetzen, nach Belieben!

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Ich kann also

2. Spalte - 1. Spalte = Spalte*

Und dann Spalte* als meine neue erste Spalte setzen?

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...................Ja!

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aahhhh dann ergibt das alles Sinn. VIELEN DANK!!!!!!! <3

Answer 2

Sobald man die Nullzeile als 4. Zeile sieht, weiss man, dass die Determinante ab n=4 immer 0 ist. Da brauchst du vermutlich keine Induktion zu machen.

Betrachte dann noch die Determinaten der 1x1-, 2x2- und 3x3-Matrizen separat.

EDIT: Habe meine Kommentare zu einer eigenen Antwort umgewandelt, da hier keine Spaltenumstellungen nötig sind.

Comments

 

Text erkannt:

Vorletzte Zeile minus die vorvorletzte, wird zur vorletzten.
\( \left(\begin{array}{cccccc}{1} & {4} & {9} & {16} & {\dots} & {n^{2}} \\ {3} & {5} & {7} & {9} & {\dots} & {2 n+1} \\ {2} & {2} & {2} & {2} & {\dots} & {2} \\ {2} & {2} & {2} & {2} & {\dots} & {2} \\ {\dots} & {\dots} & {\dots} & {\dots} & {\dots} & {\dots} \\ {2} & {2} & {2} & {2} & {\dots} & {2}\end{array}\right) \)
Letzte Zeile minus die vorletzte, wird zur letzten.
Vorletzte Zeile minus die vorvorletzte, wird zur vorletzten.
\( \left(\begin{array}{cccccc}{1} & {4} & {9} & {16} & {\dots} & {n^{2}} \\ {3} & {5} & {7} & {9} & {\dots} & {2 n+1} \\ {2} & {2} & {2} & {2} & {\dots} & {2} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {\dots} & {0} \\ {\dots} & {\dots} & {\dots} & {\dots} & {\dots} & {\dots} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {\dots} & {0}\end{array}\right) \)

 "

Ich "sehe" das, was ich beschrieben habe, an dieser Stelle und brauche keine zusätzlichen Spaltenumformungen, muss aber, wie erwähnt, dann die Fälle n=1, n=2 und n=3 noch ausrechnen.