Basis und Teilmengen Eigenschaften

Question

Aufgabe:

Die Teilmenge S={u,v,w}
sei eine Basis des dreidimensionalen reellen Vektorraums V

Bestimmen sie welche Eigenschaften die untenstehenden Teilmengen von V
besitzen.

1) {w,2u+v+3w}

-linear unabhängig ja/nein?

-Erzeugendensystem von V ja/nein?

- Basis von V ja/ nein?

2) {−4v−3w,−u+6v+4w,u−3v−2w,6v+w}

- linear unabhängig ja/ nein?
-Erzeugendensystem von V ja/nein?
- Basis von V ja/ nein?

3) {6u−3v−3w,−2u+v+w,4u−2v−2w}

- linear unabhängig ja/nein?
-Erzeugendensystem von Vja/nein?
- Basis von V ja/ nein?

4) {u−3w,2u+2v−w,2u+v−3w}

- linear unabhängig ja/ nein?
-Erzeugendensystem von V ja/nein?
- Basis von V ja/ nein?

Problem/Ansatz:

Für die lineare Unabhängigkeit hab ich raus:

1) linear unabhängig

2) linear unabhängig

3) linear abhängig

4) linear unabhängig

Stimmt das? Wie zeige ich jetzt die das es ein Erzeugendensystem/ eine Basis ist oder nicht ist?

Vielleicht kann mir ja jemand helfen

Answer 1

1) linear unabhängig

2) linear unabhängig falsch, 4 Stück in einem 3-dim Raum sind immer lin. abh.

3) linear abhängig

4) linear unabhängig

1,2,4 stimmen und bedenke:

in einem 3 dim-Raum sind

3 lin. unabhängige immer eine Basis also

auch ein Erzeugendensystem.

3 lin. abhängige aber nie.

Bei 2) kannst du den letzten weglassen und hast eine Basis,

die 4 bilden aber nat. auch ein Erz.system.

Comments

Also ist es

1) linear unabhängig, Erzeugendensystem???, Basis???

2) linear abhängig, Erzeugendensystem, keine Basis

3) linear abhängig, Erzeugendensystem???, keine Basis

4) linear unabhängig, Erzeugendensystem, Basis

Das 2) kann doch aber keine Basis sein, da es linear abhängig ist oder? Deswegen kann auch das 3) keine Basis sein

Beim 1) und 3) weiß ich nicht ob es ein erzeugendensystem ist, und ggf. beim 1. eine Basis

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Das 2) kann doch aber keine Basis sein, da es linear abhängig ist oder? Deswegen kann auch das 3) keine Basis sein.

So ist es !

3 linear abhängige können in einem 3-dim Raum keine

Basis also auch kein Erz.sytsem sein.

1) wie oben: "in einem 3 dim-Raum sind

3 lin. unabhängige immer eine Basis also

auch ein Erzeugendensystem."

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Danke, also trifft bei 1) und 4) alles zu und bei 2) und 3) linear abhängig, keine Basis, aber ist da jetzt eins ein Erzeugeendensystem?