Das Erzeugendensystem.

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die folgende Menge von Polynomen
p₁(x)=x²,  p₂(x)=(x+1)², p₃(x)=(x−1)²
ein Erzeugendensystem für den Raum P₂, der Polynome vom Grad kleiner oder gleich 2, darstellt.

…

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

$$p_2-p_3=(x+1)^2-(x-1)^2=(x^2+2x+1)-(x^2-2x+1)=4x$$$$\Rightarrow\quad \underline{x=\frac{p_2-p_3}{4}}$$$$p_2+p_3=(x+1)^2+(x-1)^2=(x^2+2x+1)+(x^2-2x+1)=2x^2+2$$$$\phantom{p_2+p_3}=2p_1+2$$$$\Rightarrow\quad \underline{1=\frac{p_2+p_3-2p_1}{2}}$$Man kann also jedes Polynom wie folgt bilden:

$$ax^2+bx+c=a\cdot p_1+b\cdot\frac{p_2-p_3}{4}+c\cdot\frac{p_2+p_3-2p_1}{2}$$$$\phantom{ax^2+bx+c}=(a-c)\cdot p_1+\frac{b+2c}{4}\cdot p_2-\frac{b-2c}{4}\cdot p_3$$Offenbar kann man mit den gegebenen Polynomen \(p_1,p_2,p_3\) alle Polynome vom Grad \(\le2\) bilden. Es handelt sich daher um ein Erzeugendensystem.

Comments

Können Sie mir den letzten Punkt erklären?

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Zuerst habe ich gezeigt, wie man \(x^2\), \(x\) und \(1\) mit der neuen Basis ausdrücken kann. Dann habe ich ein Polynom 2-ter Ordnung \(ax^2+bx+c\) mit dieser neuen Basis ausgedrückt. Im letzen Schritt habe ich die Gleichung umgeformt:

$$ax^2+bx+c=a\cdot \underbrace{p_1}_{=x^2}+b\cdot\underbrace{\frac{p_2-p_3}{4}}_{=x}+c\cdot\underbrace{\frac{p_2+p_3-2p_1}{2}}_{=1}$$$$=a\cdot p_1+\frac{b}{4}p_2-\frac{b}{4}p_3+\frac{c}{2}p_2+\frac{c}{2}p_3-c\cdot p_1$$$$=a\cdot p_1-c\cdot p_1+\frac{b}{4}p_2+\frac{c}{2}p_2-\frac{b}{4}p_3+\frac{c}{2}p_3$$$$=(a-c)\cdot p_1+\left(\frac{b}{4}+\frac{c}{2}\right)p_2-\left(\frac{b}{4}-\frac{c}{2}\right)p_3$$$$=(a-c)\cdot p_1+\frac{b+2c}{4}p_2-\frac{b-2c}{4}p_3$$