Aloha :)
$$p_2-p_3=(x+1)^2-(x-1)^2=(x^2+2x+1)-(x^2-2x+1)=4x$$$$\Rightarrow\quad \underline{x=\frac{p_2-p_3}{4}}$$$$p_2+p_3=(x+1)^2+(x-1)^2=(x^2+2x+1)+(x^2-2x+1)=2x^2+2$$$$\phantom{p_2+p_3}=2p_1+2$$$$\Rightarrow\quad \underline{1=\frac{p_2+p_3-2p_1}{2}}$$Man kann also jedes Polynom wie folgt bilden:
$$ax^2+bx+c=a\cdot p_1+b\cdot\frac{p_2-p_3}{4}+c\cdot\frac{p_2+p_3-2p_1}{2}$$$$\phantom{ax^2+bx+c}=(a-c)\cdot p_1+\frac{b+2c}{4}\cdot p_2-\frac{b-2c}{4}\cdot p_3$$Offenbar kann man mit den gegebenen Polynomen \(p_1,p_2,p_3\) alle Polynome vom Grad \(\le2\) bilden. Es handelt sich daher um ein Erzeugendensystem.