Grenzwert einer Funktion bestimmen stetigkeit

Question

vor den Ferien haben wir noch Aufgaben bekommen zu Grenzwert von Funktionen.

Bestimme Sie den Grenzwert mit Beweis: $$ \lim\limits_{x \to x_0 } f(x) \textrm{ für } f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\: x\mapsto x^3+4x \textrm{ und beliebiges } x_0 \in  \mathbb{R} $$ Wie kann ich das hier formal beweisen bzw. überhaupt beweisen bzw. den Grenzwert bestimmen?

Ich sehe dass wenn man für x gegen unendlich laufen lässt dass der Grenzwert nicht existiert also in dem Fall gegen unendlich läuft

Wenn man für x gegen minus unendlich laufen lässt dann ist der Grenzwert auch minus unendlich und wenn  man x gegen 0 laufen lässt dann ist der Grenzwert auch 4

Ich weiss nicht ob meine Überlegungen richtig sind wenn ja wie kann ich dass formal aufschreiben

Comments

\(x_0\) ist kein Element von \(\{\pm \infty\}\).

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Wenn du, wie der Titel es vermuten lässt, eine Stetigkeitsüberprüfung machen willst, dann müssen Grenzwerte für \(x\rightarrow x_0\) untersucht werden. Was die Funktion im Unendlichen macht, ist unerheblich.

Für \(x\rightarrow 0\) ist der Grenzwert sicher nicht 4.

Answer 1

Lautet die Funktion y = x^3 + 4x ?

Der Grenzwert an der Stelle x0 ist dann der Funktionswert an der Stelle x0 oder nicht?

Vielleicht könntest du dafür zeigen das es sich um eine stetige Funktion handelt.

Comments

Wertigkeit haben wir nicht richtig eingeführt leider nur Grenzwert von Funktionen wie die Definition \( \lim\limits_{x \to x_{0}} \) f(x) = L wobei L mein Grenzwert ist an der Stelle x₀ und noch Epsilon Delta Definition linkseitiger und rechtsseitiger Grenzwert.

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Ach und genau die Aufgabe lautet habe falsch geschrieben y=x³+4

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x³+4x ist jetzt wirklich richtig

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lim (x → x0) x^3 + 4x

= lim (h → 0) (x0 + h)^3 + 4(x0 + h)

= lim (h → 0) (x0 + h)^3 + 4(x0 + h)

= lim (h → 0) (x0)^3 + 4·(x0) + 3·h·(x0)^2 + 3·h^2·(x0) + h^3 + 4·h

= lim (h → 0) (x0)^3 + 4·(x0) + 3·h·(x0)^2 + 3·h^2·(x0) + h^3 + 4·h

= lim (h → 0) (x0)^3 + 4·(x0) + h·(h^2 + 3·h·(x0) + 3·(x0)^2 + 4)

= (x0)^3 + 4·(x0)

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Bei Polynomen kann man auch mit den üblichen Grenzwertsätzen argumentieren.