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Wollte mal um eine Kontrolle bei folgender Aufgabe bitten:

Zeigen Sie, dass f ℚ-linear ist:

$$ f: \mathbb{Q}^3 \rightarrow \mathbb{Q}^2, \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x+y\\y-z \end{pmatrix} \\ \text{Meine Rechnung:} \\ \text{Zu zeigen:} \qquad \forall v,w\in\mathbb{Q}^3, \alpha\in\mathbb{Q}: \ f \left( \alpha \cdot v + w \right) = \alpha \cdot f \left(v \right) + f \left(w \right) \\ Seien \ v:=\begin{pmatrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{pmatrix} und \ w:= \begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{pmatrix} \\ \text{Dann gilt:} \quad f( \alpha \cdot v + w) = f  \left(\alpha\cdot \begin{pmatrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{pmatrix}\right) = f \left(\begin{pmatrix} \alpha \cdot x_1 + x_2\\\alpha\cdot  y_1 + y_2\\ \alpha\cdot z_1 + z_2 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} (\alpha \cdot x_1 + x_2) + (\alpha\cdot  y_1 + y_2)\\(\alpha\cdot  y_1 + y_2) - (\alpha\cdot z_1 + z_2)  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \cdot ( x_1 + y_1) + (x_2 + y_2)\\\alpha \cdot (y_1 - z_1) + (y_2 - z_2) \end{pmatrix}      = \alpha \cdot \begin{pmatrix} x_1 + y_1\\y_1 - z_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 + y_2\\y_2 - z_2 \end{pmatrix} = \alpha \cdot f \left(v\right) + f(w) \\[20pt] \Longrightarrow  \text{f ist  ℚ-linear }$$

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Hallo

 ja, gut, alles richtig

Gruß lul

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Wenn jetzt z.B. danach gefragt ist, ker f zu bestimmen, ist das aufzustellende Gleichungssystem so: ?

x + y = 0

y - z = 0

<=> y * \( \begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix} \)

also

ker f = { α * \( \begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix} \) | α∈ℚ}. ?


Wie bestimmt man dann noch bild ? Da habe ich leider keinen Ansatz

Hallo

 Bild ist am einfachsten zu finden, indem du das Bild der Standarbasisvektoren bestimmst.

Gruß lul

Hier stand etwas falsches ....

@lul,

ist der Kern denn richtig berechnet?

Könntest du das mit dem Bild mal vorzeigen? Basis wurde in der Vorlesung nämlich noch nicht behandelt.

Hallo

 bilde (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1) ab, die Linearkombination von denen (einer Basis) erreich jeden Vektor aus R^3  die Bilder, wegen der Linearität jeden Vektor des Bildes.

 dein Kern ist richtig.

Gruß lul

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