Konvergenz einer Potenzreihe

Question

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} 3^n*(\frac{1}{3})^n$$

Wenn ich jetzt für n unendlich große Werte einsetze würde 1/3 gegen Null laufen und 3^n gegen unendlich.

Was sagt mir das jetzt?

Answer 1

Wenn ich jetzt für n unendlich große Werte einsetze würde 1/3 gegen Null laufen und 3n gegen unendlich.

Was sagt mir das jetzt?

Nichts.

Es ist

       3ⁿ · (1/3)ⁿ = (3· 1/3)ⁿ = 1ⁿ = 1.

Somit divergiert die Reihe.

Im Gegensatz dazu konvergiert \(\sum_{n=1}^\infty 2^n\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n\)

Answer 2

Das ergibt 1+1+1+1+... und das unendlich oft. Also divergiert die Reihe.