Absolute Konvergenz von Potenzreihe

Question

Aufgabe:

$$ \text{Gezeigt werden soll, dass die Potenzreihe}  \sum_{k=2}^{\infty}\frac{z^k}{k(k-1)} \text{für alle } z \in \mathbb{C} \text{mit} |z| = 1 \text{ absolut konvergiert.}$$

Answer 1

Hallo zerlege 1/(k-1)*k in A/k+B/(k-1) genannt Partialbruchzerlegung. dann schreib die paar ersten Glieder hin um zu sehen wie es läuft.

Gruß lul

Comments

Da mit der Partialbruchzerlegung habe ich jetzt hinbekommen, da kommt ja raus :

$$ - \frac{1}{k} + \frac{1}{k-1}$$ Ich habe auch paar Werte eingesetzt und gesehen, dass es gegen 0 konvergiert. Aber was hat das mir jetzt gebracht?

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Hallo

du sollst sehen, wie du die Reihe zusammenfassen kannst, was kann man zusammenfassen? kannst du es in 2 Reihen mit verschiedenem Anfang und Ende schreiben?

Gruß lul

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Also hätte man dann $$\sum_{k=2}^{\infty}\frac{-z^k}{k} +\sum_{k=2}^{\infty}\frac{z^k}{k-1}?$$

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Hallo

du musst dafür sorgen, dass in beiden summen 1/k oder in beiden 1/(k-1) steht und erstmal nur bis n summieren.

lul

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$$\sum_{k=2}^{n}\frac{-z^k}{k}+\sum_{k=1}^{n}\frac{z^{k+1}}{k}$$

So?

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Hallo,

die Frage betrifft doch nur |z|=1, also brauchst Du nur die Reihe über 1/(k(k-1)) betrachten.

Gruß Mathhilf