Ableitung Exponentialfunktion

Question

Hallo, ich suche die Ableitung folgender Funktion ohne ln

Also:

f(x) = 2^x

f´(x) = 0,6931 * 2^x

Ich möchte es gerne mit der h-Methode bzw. dem Differenzenquotienten. Ich dachte:

Ansatz:

f´´(x) = f´´(0) * f´(x)

f´´(x) = \( \lim\limits_{x\to0} \) \( \frac{0,6931 * 2^x -1}{x} \) = -3068999,52.

Das stimmt nicht, weil ich mit f´´(x) = 0,6931 * ln(2) * 2^x  = 0,48*2^x

^{Stehe auf dem Schlauch, kann mir bitte jemand zeigen, wie man es mit dem Quotienten rechnet :)}

Comments

In deinem eigenen Ansatz zur Ableitung verwendest
du bereits die dir bekannte Ableitung.
Dein Ansatz taugt also nicht so viel.

Answer 1

f(x) = 2^x = (e^{ln2})^x = e^{ln(2)*x}

f'(x) = ln(2)*e^{ln(2)*x} = ln(2)*2^x

Comments

ja ohne ln bitte :)

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Das wollte der Frager ausdrücklich NICHT wissen!

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m = (2^(x + h) - 2^x)/h

m = (2^x·2^h - 2^x)/h

m = 2^x·(2^h - 1)/h

Jetzt kannst du ja mal für h etwas kleines einsetzen

m = 2^x·(2^0.001 - 1)/0.001

m = 2^x·0.6933874616

Damit bekommst du es doch näherungsweise schon recht gut hin.

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Wie würde es allgemein gehen ohne Einsetzen einer Zahl?

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Dann setzt du für " 2 " eine Variable ein

m = a^x * (a^0.001 - 1) / 0.001

Kann man bis zur gewünschten Genauigkeit
mit " h " verfeinern.

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Ich meine die allgemeine Herleitung der Ableitung von a^x mittels

Differenzenquotienten.

Wie komme ich damit auf a^x*ln(a) ?

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Meiner unmaßgeblichen Meinung nach : gar nicht.
von oben übernommen
 lim h .> 0  [ (a^h - 1) / h ] = 0 / 0
Ein Fal für L´Hospital.

( a^h - 1) ´ /  h ´

Und damit hätten wir wieder eine Ableitung
einer Exponentialfunktion im Zähler, die wir ja eigentlich
finden wollen.
Der Hund beißt sich in den Schwanz.
Siehe auch meinen Kommentar ganz oben an den
Fragesteller.

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Wegen

m = a^{x} * (a^{0.001} - 1) / 0.001 = a^{x} * (a^{0+h} - a^{0}) / h

verschleiern solche Überlegungen nur die immer noch vorhandene Situation, dass der Grenzwert des Differenzenquotienten ausgerechnet und nicht durch Einsetzen kleiner Werte heuristisch bestimm werden soll.

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Weiter kommt man mit Überlegungen wie hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Hintergründe_und_Beweise

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Weiter kommt man mit Überlegungen wie hier:

Richtig. Deswegen wurde bei uns an der FH auch das Pferd von Hinten aufgezäumt. Zuerst hat man die Ableitung von e^x bestimmt. Und dann hat man daraus auch die Ableitung von a^x bekommen indem man a^x als e-Funktion geschrieben hat.

Das habe ich oben gemacht. Aber dann kommt ja wieder der ln ins Spiel.

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Ja, es macht aber schon einen Unterschied, ob man den ln als Ergebnis bekommt, oder ihn bei der Rechnung bereits voraussetzt. Dder Frager wollte den ln doch m. E. aus der Rechnung aussperren, nicht aus dem Ergebnis.