Die Aufgabe lautet:
Gegeben ist die Ableitungsfunktion f´(x) = (x - 2) • (x² + 1) auf dem Intervall I = [0;3].
Bestimmen Sie das Monotonieverhalten der Funktion f auf dem Intervall I.
Meine Lösung:
f'(x) = 0
0 = (x - 2) • (x² + 1)
x1 = 2,
x2/3 = √(-1) → n.l. in ℝ.
I1= [ 0 ; 2 [ → f´(x) < 0 für alle x ∈ I1, somit ist f(x) streng monoton fallend auf I1.
I2= ] 2 ; 3 ] → f´(x) > 0 für alle x ∈ I2, somit ist f(x) streng monoton steigend auf I2.
Für x1=2 gilt: m = 0.
Meine Frage: Reicht das aus oder muss ich das Monotonieverhalten mit Testeinsetzungen nachweisen (oder qualitativ)?
Außerdem frage ich mich, ob ich die Intervalle richtig bezeichnet habe, da ich die 2 nicht in I1 und I2 eingeschlossen habe, sondern in der nächsten Zeile mit "Für x1=2 gilt: m = 0."
Oder wäre diese Schreibweise besser?:
I1= [ 0 ; 2 [ → f´(x) < 0 für alle x ∈ I1, somit ist f(x) streng monoton fallend auf I1.
I2= [ 2 ; 3 ] → f´(x) ≥ 0 für alle x ∈ I2, somit ist f(x) monoton steigend auf I2.
Danke.