Monotonieverhalten einer Funktion Schreibweise

Question

Die Aufgabe lautet:
Gegeben ist die Ableitungsfunktion f´(x) = (x - 2) • (x² + 1) auf dem Intervall I = [0;3].
Bestimmen Sie das Monotonieverhalten der Funktion f auf dem Intervall I.

Meine Lösung:
f'(x) = 0
0 = (x - 2) • (x² + 1)
x₁ = 2,
x_2/3 = √(-1) → n.l. in ℝ.
I₁= [ 0 ; 2 [ → f´(x) < 0 für alle x ∈ I₁, somit ist f(x) streng monoton fallend auf I₁.

I₂= ] 2 ; 3 ] → f´(x) > 0 für alle x ∈ I₂, somit ist f(x) streng monoton steigend auf I₂.

Für x₁=2 gilt: m = 0.

Meine Frage: Reicht das aus oder muss ich das Monotonieverhalten mit Testeinsetzungen nachweisen (oder qualitativ)?
Außerdem frage ich mich, ob ich die Intervalle richtig bezeichnet habe, da ich die 2 nicht in I₁ und I₂ eingeschlossen habe, sondern in der nächsten Zeile mit "Für x1=2 gilt: m = 0."

Oder wäre diese Schreibweise besser?:

I₁= [ 0 ; 2 [ → f´(x) < 0 für alle x ∈ I₁, somit ist f(x) streng monoton fallend auf I₁.

I₂= [ 2 ; 3 ] → f´(x) ≥ 0 für alle x ∈ I₂, somit ist f(x) monoton steigend auf I₂.

Danke.

Comments

Deine Ausführungen sind schon ausführlicher als notwendig. Es genügt

f'(x) = 0
(x - 2) * (x^{2} + 1) = 0
x = 2.
Es ist f'(x) < 0 für alle x ∈ [ 0 ; 2 [, somit ist f auf [ 0 ; 2 ] streng monoton fallend.
Es ist f'(x) > 0 für alle x ∈ ] 2 ; 3 ], somit ist f auf [ 2 ; 3 ] streng monoton steigend.

(Ich  habe einiges weggelassen und x=2 aus den Monotoniebedingungen herausgelassen, aber in die Monotonieintervalle aufgenommen.)

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Wäre dann nicht f auf [ 0 ; 2 ] monoton fallend und auf [ 2 ; 3 ] monoton steigend?

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Ja, aber die strenge Monotonie gilt auch auf den Intervallen mit eingeschlossener 2. Die Funktion \(y=x^3\) beispielsweise ist ja auch überall streng monoton steigend.

Answer 1

f´(x) = (x - 2) • (x² + 1)
f ´( x ) = (x - 2) • (x² + 1)  = 0 
Satz vom Nullprodukt
x = 2

f ´( x ) > 0
(x - 2) • (x² + 1)  > 0
x^2 + 1 ist stets > 0
dann ( plus mal plus )
x -2 > 0
x > 2

Zusammenfassung
x < 2 : fallend
x = 2 : Hoch- Tief- oder Sattelpunkt
x > 2 : steigend

Graph der Funktion
fallend - null - steigend  => Tiefpunkt

Comments

Graph der Funktion
fallend - null - steigend  => Tiefpunkt

Das macht wohl keinen Sinn.

Answer 2

Die Funktion selbst lautet f(x)=x⁴/4-2x³/3-x²/2+2x+c

Und hat für c=0 diesen Graphen: