Ortskurve der Scheitelpunkte von Parabelschar? Ft(x)=tx^2+t^2 x Scheitelpunktform?

Question

Ortskurve der Scheitelpunkte von Parabelscher? Ft(x)=tx^2+t^2 x Scheitelpunktform?

Aufgabe: Bestimmen Sie den Scheitelpunkt in Abhängigkeit von t sowie die zugehörige Ortskurve.

Answer 1

f (x ) = t * x^2 + t ^2 * x

f ´( x ) = 2 * t * x + t^2

2 * t * x + t^2 = 0
2tx = - t^2
2x = -t
x = -t / 2

f ( -t / 2 ) = t * (-t/2)^2 + t ^2 * (-t/2)
f ( -t/2) = -t^3 / 4

S ( x | y )
S ( -t/2 |- t^3 / 4 )

x = -t/2  => t = - 2x
einsetzen
y = -t^3/4 =>-(-2x)^3 / 4
ort ( x ) = 8 / 4 * x^3
ort ( x ) = 2 * x^3

Comments

dankeschön:) Ich habe ein Problem und zwar ich hatte am Ende zwar die selbe Lösung auch raus aber irgendwie fällt mit es schwer, wenn ich Beispielsweise für y so ein wert raushabe y=(1/4t)^3-(1/2t). Die Aufgabe hierzu lautet tx^2+x

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y=(1/4t)^3-(1/2t). Die Aufgabe hierzu lautet tx^2+x

Leider weiß ich mit deiner Frage nichts anzufangen.
Was ist die Funktion ? Was willst du wissen ?

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f(x)=tx²+x=x·(tx+1) hat die Nullstellen x=0 und x=-1/t.

x_s= - 1/(2t);  f(x_s)= - 1/(2t)·(-1/2+1)= -1/(4t) S(-1/(2t)|-1/(4t))

Scheitelpunktform: f(x)=t(x+1/(2t))²-1/(4t).

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Also das war nur ein Beispiel. Also ich wollte wissen, wenn ich zum Beispiel jetzt die Aufgabe hätte ft(x)=x^2+t*x+t. Ich habe die Nullstelle -t/2 raus, nur ich komme nicht auf ein y-Wert, weil ich nicht weiß wie man das verrechnet. Ich kriege andauernd t^2/4-t^2/2+t raus also ich weiß nicht wie man zb.: t^2+t bei solchen Aufgaben vorgeht, um auf die Ortskurve zu kommen. Ich hoffe ich habe Sie nicht verwirrt mit meinen Beispiel. Dennoch Danke ich für Ihre Hilfe

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Es bringt nichts, wenn du zwischen verschiedenen Aufgaben und Fragen ständig herumspringst.

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x ( Tiefpunkt ) = -t / 2
jetzt setzt du die Wert in die Funktion ein und
bekommst einen y- oder Funktionswert von
f := x^2 + t*x + t;
f ( -t/2 ) = (-t/2)^2 + t * ( -t/2) + t
f ( -t/2 ) = t^2 /4  - t^2 / 2  + t
f ( -t/2 ) = - t^2/4 + t

Tiefpunkt ( -t/2 | -t^2/4 + t )

Mit der Ortskurve erkläre ich dir in meiner nächsten Antwort.
Ich will jetzt aber erstmal Abendessen.

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Hier die Herleitung der Ortskurve

Frag nach bis alles klar ist.
Falls dir der Rechengang klar ist dann versuche dich an
deinem 2.Beispiel.

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ich Danke Ihnen Sie waren ehrlich eine sehr große Hilfe für mich :)

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Bei dem zweiten Beispiel versteh ich nicht also ich habe es ausgerechnet aber wenn ich das zeichne kommt keine Funktion raus die Ähnlichkeit mit einer Kurve hat ich erhalte einfach nur eine Gerade. Ich weiß halt nicht, ob ich was falsch gemacht habe

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Tiefpunkt ( -t/2 | -t^2/4 + t )
ort
x = -t/2   => t = -2x
y = - t^2/4 + t
t = -2x einsetzen
y ( x ) = - (-2x)^2 / 4 + (-2x)
ort ( x ) = - x^2 - 2x

ft(x) = x^2 + t*x + t
blau : t = 1
rot : t = 2
grün : t = 3
ocker : ortskurve durch die Tiefpunkte

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Vielen Vielen Dank georgborn :)

Answer 2

Evtl.

f(x) = t * x^2 + t^2 * x

f(x) = t * (x^2 + t * x)

f(x) = t * (x^2 + t * x + t^2/4 - t^2/4)

f(x) = t * (x^2 + t * x + t^2/4) - t^3/4

f(x) = t * (x + t/2)^2 - t^3/4

S(-t/2 | -t^3/4)

Ortskurve schaffst du jetzt selber?

Comments

ja ich danke Ihnen :)

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Deutlich kürzer: Bei jeder quadratischen Parabel liegt die x-Koordinate des Scheitelpunktes (x_s|y_s) in der Mitte zwischen den Nullstellen:

f(x)=tx(x+t) hat die Nullstellen 0 und -t, also x_s=-t/2

f(x_s)=-t²/2·t/2=-t³/4, also f(x) = t * (x + t/2)² - t³/4.  

Answer 3

f rot, Ortskurve grün.

https://www.desmos.com/calculator/tle8skjmuc