Beschreibe was Abbildung g mit Basisvektoren tut.

Question

Aufgabe:

Die Vektoren v₁ und v₂ sind Bilder unter der linearen Abbildung g: ℝ² → ℝ²  mit v ↦ A • v mit der Matrix A ∈ ℝ^2x2.

Nun gilt:        A • \( \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} \) = v₁    und    A • \( \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} \) = v₂

mit  v₁ = \( \begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix} \)  und  v₂ = \( \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} \)

a.) Bestimmen Sie die Matrix A.

b.) Erklären Sie, was die Abbildung g mit den Basisvektoren e₁ = \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) und e₂ = \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) tut.

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits Teilaufgabe a.) gelöst und kam nach dem Lösen des Gleichungssystems auf die Matrix A = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \). Allerdings bin ich mir nicht sicher ob dies korrekt ist.

Bei der Teilaufgabe b.) steh ich leider voll auf den Schlauch und weiß nicht, wie ich mit der Matrix A weiter argumentieren kann.

Ist meine Ergebnis für Teilaufgabe a.) korrekt?

Answer 1

Aloha :)

Aus den beiden Punkten und ihren Abbildungen kannst du folgendes Gleichungssystem aufstellen:$$\left(\begin{array}{c}3 & 1\\2 & -1\end{array}\right)=A\cdot\left(\begin{array}{c}2 & -1\\1 & 2\\\end{array}\right)$$Rechts-Multiplilkation mit der Inversen liefert:$$A=\left(\begin{array}{c}3 & 1\\2 & -1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2 & -1\\1 & 2\\\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{c}3 & 1\\2 & -1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0,4 & 0,2\\-0,2 & 0,4\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 1\\1 & 0\end{array}\right)$$Das ist dasselbe Ergebnis, das du auch raus hast.

Beim nächsten Teil brauchst du nur die Basis-Vektoren auf die Matrix loszuassen. Der Basis-Vektor \(\binom{1}{0}\) wählt die erste Spalte der Matrix aus, der Basis-Vektor \(\binom{0}{1}\) wählt die zweite Spalte der Matrix aus:

$$A\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 1\\1 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)$$$$A\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 1\\1 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)$$Der erste Basis-Vektor \(\binom{1}{0}\) wird also um \(45^o\) nach links gedreht und seine Länge wird mit dem Faktor \(\sqrt2\) multipliziert. Der zweite Basis-Vektor \(\binom{0}{1}\) bleibt ungeändert.

Comments

Ist es nicht

[1, 1; 0, 1]·[0; 1] = [1; 1]

---

Stimmt, ich habe auch nochmal nachgerechnet.

---

Vielleicht ist es für dich auch interessant das man die Abbildungsmatrix auch anders schreiben kann

[0, 1; 1, 0]·[1, 0; 1, 1] = [1, 1; 1, 0]

oder

[1, 1; 0, 1]·[0, 1; 1, 0] = [1, 1; 1, 0]

Die Abbildungsmatrizen auf der linken Seite zu interpretieren ist sehr einfach. Und damit ist es dann auch recht einfach die gesamte Abbildungsmatrix zu interpretieren. Das gibt dir ein größeres Verständnis für diese Abbildungsmatrix denke ich.

---

Mir war in der letzten Zeile, in der \(A\cdot\binom{0}{1}\) berechnet wird, ein Tippfehler bei der Matrix \(A\) unterlaufen. Das habe ich eben noch korrigiert. Das ändert aber zum Glück nichts am Ergebnis.

Answer 2

Ist meine Ergebnis für Teilaufgabe a.) korrekt?

Ja.

weiß nicht, wie ich mit der Matrix A weiter argumentieren kann.

Berechne zunächst ein mal A·e₁ und A·e₂.

Wenn das noch nicht deutlich genug ist, dann denke dir eine beliebige andere Matrix 2×2-aus und schaue nach, was die mit e₁ und e₂ macht.