Abbildungsmatrizen, Koordinatenwechsel

Question

ich stehe leider bei folgender Aufgabe total auf dem Schlauch und würde mich über eine kurze Erklärung freuen.

Aufgabe:

Bestimmen Sie Abbildungsmatrizen der Koordinatenwechsel zwischen dieses Basen und den entsprechenenden Standardbasen der passenden Größe.

Mit „dieser“ Basis ist die zuvor berechnete Basis aus Eigenvektoren gemeint.

Diese ist gegeben mit:

B_F = { (-3 / 1) , (1 / 4) }

Der Teil in Klammern natürlich als Vektoren.

Und:

F = ( 2       3

         4       13)

Als Matrix.

Answer 1

Aloha :)

Gegeben sind: \(B=\left(\begin{array}{c}-3 & 1\\1 & 4\end{array}\right)\quad;\quad F=\left(\begin{array}{c}2 & 3\\4 & 13\end{array}\right)\)
Die Komponenten der Basen sind alle bezüglich der Standardbasis \(S=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\) angegeben. Wenn man also einen Vektor mit Koordinaten bezüglich der Basis \(B\) von rechts an die Matrix \(B\) multipliziert, erhält man die Komponenten des Vektors bezüglich der Standardbasis \(S\). Analog gilt dasselbe für die Basis \(F\). Formal heißt das:
$${_Sid_B}=B=\left(\begin{array}{c}-3 & 1\\1 & 4\end{array}\right)\quad;\quad {_Sid_F}=F=\left(\begin{array}{c}2 & 3\\4 & 13\end{array}\right)$$Mit den inversen Matrizen geht es in die andere Richtung:

$${_Bid_S}=B^{-1}=\frac{1}{13}\left(\begin{array}{c}-4 & 1\\1 & 3\end{array}\right)\quad;\quad {_Fid_S}=F^{-1}=\frac{1}{14}\left(\begin{array}{c}13 & -3\\-4 & 2\end{array}\right)$$Von \(B\) nach \(F\) geht es über den Umweg der Standardbasis \(S\):

$${_Fid_B}={_Fid_S}\cdot{_Sid_B}=\frac{1}{14}\left(\begin{array}{c}13 & -3\\-4 & 2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-3 & 1\\1 & 4\end{array}\right)=\frac{1}{14}\left(\begin{array}{c}-42 & 1\\14 & 4\end{array}\right)$$Ebenso von \(F\) nach \(B\):

$${_Bid_F}={_Bid_S}\cdot{_Sid_F}=\frac{1}{13}\left(\begin{array}{c}-4 & 1\\1 & 3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2 & 3\\4 & 13\end{array}\right)=\frac{1}{13}\left(\begin{array}{c}-4 & 1\\14 & 42\end{array}\right)$$

Comments

Danke für die ausführliche Antwort! Hat mir sehr geholfen :)

Answer 2

Hallo

stelle (1,0)= c*b1+d*b2 dar dann ist (c,b)der erste SpaltenVektor  der Matrix, die von der Standardbasis in die aus Eigenvektoren abbildet.  entsprechend für (0,1) für die zweite Spalte,

wenn du von der Eigenvektorbasis  in die Standardbasis willst eben b1=c*e1+d*e2

Gruß lul