Verkettung von x hoch x²

Question

DIe Funktion lautet:

\( f(x)=x^{x^{2}} \)

Nun Soll ich die Ableitung bilden. Klar ist mir, dass es sich um eine Funktion handelt, die verkettet ist. Der Grund warum ich nicht weiterkomme ist, dass in dern Lösungen vom Ln die Rede ist.

Answer 1

Hi,

schreibe f(x) mit Hilfe der e-Funktion und des Logarithmus um:


$$f(x) = x^{x^2} = e^{x^2\cdot\ln(x)}$$

$$f'(x) = (x^2\ln(x))'e^{x^2\cdot\ln(x)} = 2x\ln(x)e^{x^2\cdot\ln(x)} + x^2\cdot\frac1xe^{x^2\cdot\ln(x)}$$

$$ = (2x\ln(x)+x)e^{x^2\cdot\ln(x)} = (2x\ln(x)+x)x^{x^2}$$


Grüße

Comments

Danke für die schnelle Antwort!


Warum ist denn meine Funktion gleich der von dir erwähnten e-Funktion? Mit anderen Worten: Kannst du mir den ersten Schritt erklären?

LG

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Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion zur e-Funktion, hebt sich also gegenseitig auf:

 

a = e^{ln a}

Und a^n = e^{ln aⁿ} = e^{n*ln a}, nach dem Logarithmengesetz ln(a^n) = n*ln(a)

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Alles klar. Das habe ich verstanden! Eine Frage habe ich noch. Warum ist die Ableitung von x²ln(x) = 2xln(x)+x? Ist die Ableitung des ln nicht 1/x?


LG

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Das war eine blöde Frage! Sorry, habs selbst hinbekommen.

Ich danke dir vielmals für die Antwort? Kann ich dir hier was da lassen? Einen Daumen oder eine Plakette?

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Falls du die Frage gestellt hast, kannst du die Antwort von Unknown als 'beste' Antwort auszeichnen. Das Symbol ist vermutlich ein Stern.
Falls du nicht der Fragesteller bist, kannst du höchstens Daumen vergeben.

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Freut mich, wenns geklappt hat und Dank/Verständnis ist mir Lohn genug^^.


@Lu: Als Gast kann man glaub keine Daumen vergeben. Ein wenig schade, da Gelegenheitsleser keine Chance haben, iwas zu honorieren...