Inverse Matrix Beweise

Question

Aufgabe:

Seien A,B aus ℝ^n×n quadratische Matrizen mit n > 0. Sei  0 aus ℝ^n×n die Nullmatrix. Sei I aus ℝ^n×n die Einheitsmatrix. Beweise oder widerlege:

1. Ist A invertierbar mit inverser Matrix A^-1 , so ist A^-1 invertierbar mit inverser Matrix A.

2. Das Produkt AB ist invertierbar <=> A invertierbar UND B invertierbar

3. Ist A + B invertierbar, so ist A ODER B invertierbar.

4. Sind A UND B invertierbar, so ist A + B invertierbar.

5. Gilt A² = 0, so gilt A = 0.

6. Gilt A² = 0, so ist A + I invertierbar.

Problem/Ansatz:

zu 1.)

 zu zeigen: Gilt A*A^-1 = I, so gilt auch A^-1*A = I. Aufgrund der Kommutativität gilt A*A^-1= A^-1*A.

zu 2.)

Vermutung: Stimmt (klappt zumindest mit einigen ausgewählten Beispielen)

zu 3.)

Gegenbeispiel: A={(1,2),(1,2)} und B={(1,1),(2,2)} dann sind A,B nicht invertierbar da det(A)=det(B)=0.  A+B jedoch schon: A+B{(2,3),(3,4)} -> det(A+B)!=0.

zu 4.)

Gegenbeispiel: A={(3,0),(1,2)}, B={(1,2),(3,0)} mit A und B invertierbar, allerdings A+B nicht invertierbar, da det(A+B)=0 mit {(4,2),(4,2)}.

zu 5.)

Vermutung: Wahr! Es existiert kein n aus ℝ/{0} mit n²  = 0.

zu 6.)

Vermutung: Wahrscheinlich wahr.

Comments

Zu 6.)  A² = 0 ⇒ (I - A)·(A + I) = I. Also ist A + I invertierbar.

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zu 5.) falsch. Siehe "nilpotente Matrix". zu 3.) und 4.) richtig, Beispiele ok. zu 1.) Kommutativität stimmt allgemein nicht, für Matrix und inverse Matrix aber schon. Genau das sollst du zeigen. Der Beweis findet sich in fast allen Skripten. 2.) ja, mit Determinante klar, oder?