Aloha :)
Die Funktion hat im Integrationsintervall \([-2|2]\) eine Nullstelle bei \(x=0\), denn \(e^0-e^{-0}=1-1=0\). Daher liegen die Flächen von \([-2|0]\) und \([0|2]\) auf unterschiedlichen Seiten der \(x\)-Achse.
~plot~ e^x-e^(-x);[[-2|2|-8|8]] ~plot~
Daher teilen wir uns die Flächenberechnung in 2 Integrale auf:$$F=\left|\int\limits_{-2}^0\left(e^x-e^{-x}\right)dx\right|+\left|\int\limits_{0}^2\left(e^x-e^{-x}\right)dx\right|$$
Das Integral von \(e^x\) ist wieder \(e^x\) und das Integral von \(e^{-x}\) ist \(-e^{-x}\), weil die e-Funktion mit ihrer Ableitung identisch ist. Das heißt für unsere Rechnung:$$F=\left|\left[e^x+e^{-x}\right]_{-2}^0\right|+\left|\left[e^x+e^{-x}\right]_0^2\right|$$$$\phantom{F}=\left|e^0+e^0-e^{-2}-e^2\right|+\left|e^2+e^{-2}-e^0-e^0\right|$$$$\phantom{F}=\left|2-e^{-2}-e^2\right|+\left|e^2+e^{-2}-2\right|$$$$\phantom{F}=2\left|e^2-e^{-2}-2\right|\approx10,5074$$
