Person A legt 4000 € (Kapital A) an. Der Zinssatz beträgt 4% an.
a). Ermitteln Sie rechnerisch, nach welcher Zeit Kapital A auf 10000 € angewachsen ist.
a) $$ K(t)=K_0\cdot (1+\frac{p}{100})^t $$
$$ 10000=4000\cdot(1+\frac{4}{100})^t ~~~~~|:4000$$
$$ 10000:4000=1,04^t $$
$$ 2,5= 1,04^t$$
$$ \log 2,5=\log1,04^t$$
$$ \log 2,5 = t\cdot\log1,04 ~~~~~|:\log1,04$$
$$ t=\frac{\log 2,5}{\log 1,04}\approx23.36 $$
Antwort: Es dauert ca. 23,36 Jahre.
Person B legt 2000 € (Kapital B) an. Der Zinssatz beträgt 8% an.
b). Ermitteln Sie rechnerisch, nach welcher Zeit Kapital B auf 10000 € angewachsen ist.
b) $$ K(t)=K_0\cdot (1+\frac{p}{100})^t $$
$$ 10000=2000\cdot(1+\frac{8}{100})^t ~~~~~|:2000$$
$$ 10000:2000=1,08^t $$
$$ 5= 1,08^t$$
$$ \log 5=\log1,08^t$$
$$ \log 5 = t\cdot\log1,08 ~~~~~|:\log1,08$$
$$ t=\frac{\log 5}{\log 1,08}\approx20.91 $$
Antwort: Es dauert ca. 20,91 Jahre.
c)
$$ 4000\cdot 1.04^t=1.5\cdot 2000\cdot 1.08^t $$
$$ 4000\cdot 1.04^t=3000\cdot 1.08^t ~~~~|:4000 |:1.08^t$$
$$ \frac{1.04^t}{1.08^t}=\frac{3000}{4000}$$
$$ \left(\frac{1.04}{1.08}\right)^t=0.75 $$
$$ \log\left(\frac{1.04}{1.08}\right)^t=\log0.75 $$
$$ t\cdot\log\frac{1.04}{1.08}=\log0.75 $$
$$ t=\frac{\log0.75}{\log(1.04/1.08)}\approx7.62 $$
Antwort: Es dauert ca. 7,62 Jahre.
