Bestimmen Sie rechnerisch die Menge aller reellen Zahlen, die die Ungleichung erfüllen: √|x-1|>x-1

Question

√|x-1|>x-1

√(x+1)>x-1         |quadrieren  (Binomische Formel)

x+1>x² -2x+1  |-x,-1

0>x²-3x           (Hier müsste laut Lösung eigentlich x²-3x+2 stehen verstehe aber nicht wo der Fehler ist.)

Answer 1

√|x-1|>x-1

√(x-1)>x-1         |quadrieren  (Binomische Formel)

x-1>x² -2x+1  |-x,-1               an dieser Stelle zusätzlich Fallunterscheidung einbauen. Vgl. andere Antwort.

0>x²-3x  +2    

Comments

Hey vielen dank für die schnelle Antwort kannst mir auch erklären warum des so ist normalerweise wird doch aus |x-4|=x+4 ?

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Nein. Warum denn? Bsp. |1-4| = 3 aber 1 + 4 = 5

Es gilt:

|x-4| = x- 4         Falls x > 4

und
|x-4| = -(x -4)        Falls x <4

Kontrolle z.B. via: https://www.wolframalpha.com/input/?i=√%7Cx-1%7C%3Ex-1

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aaah klar nochmals vielen dank jetzt ists klar geworden !

Answer 2

 

ich glaube, der Übergang von

√|x-1|>x-1

zu

√(x+1)>x-1

ist nicht korrekt!

 

Wir müssen unterscheiden zwischen x ≥ 1 und x < 1

x ≥ 1

√|x - 1| > x - 1

√(x - 1) > x - 1 | Quadrieren

x - 1 > x² - 2x + 1 | -x + 1

0 > x² - 3x + 2

Für welche x ist diese Ungleichung erfüllt?

Wir setzen gleich:

0 = x² - 3x + 2

x_1,2 = 3/2 ± √(9/4 - 8/4) = 3/2 ± 1/2

x₁ = 2

x₂ = 1

Im Intervall  ]1;2[ gilt die Ungleichung.

 

x < 1

√|x - 1| > x - 1

√(1 - x) > x - 1 | Quadrieren

1 - x > (x - 1)²

1 - x > x² - 2x + 1 | +x - 1

0 > x² - x

x > x² | : x

1 > x

Außerdem gilt die Ungleichung im Intervall  ]-∞;1[

 

Die Ungleichung gilt also für {x | x ∈ ℝ; x < 2; x ≠ 1}

 

Besten Gruß

Comments

Am Ende hast Du aber geschummelt, mein Lieber!^^

 

√(1 - x) > x - 1 | Quadrieren

1 - x > (x - 1)^2 | +x - 1

x>x^2

 

Läuft also letztlich aufs gleiche raus :P.

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Ups, herzlichen Dank Unknown!

Allerdings komme ich jetzt auf

1 > x, und nicht auf 0 > x²

:-D