polynom zu einer matrix

Question

Aufgabe:

wir haben eine invertierbare MAtrix A∈R^n,n und müssen existenz eines Polynoms p zeigen mit p(A)=A^-1

Problem/Ansatz:

ich sage vieleicht sei p das charakteristische Polynom von A,also p=det(t*E - A) . Dann A^-1 rausziehen und nach p umstellen. Am Ende kommt raus A^-1 =\( \frac{det(t⋅A− A^{-1}  )⋅ A^{-1}  }{det(A)⋅det(t⋅E−A)} \)  . Das ist offensichtlich irgend so ein Blödsinn und ich weiss nicht weiter

Answer 1

Die Grundidee, das charakteristische Polynom von A zu benutzen, ist schon mal gut. Man kann dann annehmen, dass es die Form Xⁿ+a_n-1 X^n-1 + ... + a₁ X+a₀ hat mit irgendwelchen reellen Zahlen a_i . Wichtig ist, dass a₀ (bis auf das Vorzeichen möglicherweise) die Determinante der Matrix A ist und daher (wegen der Voraussetzung der Invertierbarkeit) von 0 verschieden. Nun kannst du den Satz von Cayley-Hamilton anwenden, man erhält eine Polynomgleichung, bei der rechts die Nullmatrix steht. Dann kannst du a₀*E subtrahieren (E soll wie üblich für die Einheitsmatrix stehen), durch -a₀ dividieren und dann A ausklammern. Man erhält eine Gleichung der Form A * (Polynom in A) = E. Die durch das Polynom definierte Matrix muss wegen der Eindeutigkeit die Inverse von A sein.

Comments

Das macht Sinn bis auf  den Umstand dass a₀=det(A) ist. Warum dürfen wir das sagen?

---

Nee alles schick)) hat sich geklärt

---

Beim charakteristischen Polynom in der normierten Form so wie hier ist a₀ = (-1)ⁿ*det(A).

Und dass das so ist, wird üblicherweise in der Vorlesung bewiesen. Ich gehe mal davon aus, dass du das auch so benutzen darfst. 

---

Steht tatsächlich im Skript. Hab es die ganze Zeit nicht gesehen