Wie bestimme ich a und b einer Polynomgleichung, wenn ich die x-Koordinaten der Extremalstellen kenne?

Question

Aufgabe:

Hallo ich weiss nicht, wie ich folgende Aufgabe lösen kann( war eine Prüfungsaufgabe):

x³+3ax²+3bx+1=f(x)

bestimme a und b (beide reelle Zahlen),

sodass die Funktion einen Hochpunkt bei x=1 und ein Minimum bei x=2 hat.

Ich hab mir bis jetzt mal die Ableitungen hergeleitet von f(x).

Weiss aber nicht, was ich mit den Informationen der Extremalstellen machen muss bzw. wie und wo einsetzen???

Vielen Dank schon für eure Antworten

Answer 1

$$f(x)=x^3+3ax^2+3bx+1$$

$$f'(x)=3x^2+6ax+3b$$

Waagerechte Tangenten bei x=1 und x=2, d.h. f'(1)=0 und f'(2)=0

\(0=3+6a+3b \Rightarrow -b=2a+1\)

\(0=12+12a+3b \Rightarrow -b=4a+4\)

\(2a+1=4a+4\Rightarrow a=-1.5 ; b=2\)

$$f(x)=x^3-4.5x^2+6x+1$$

Comments

Super

Vielen herzlichen Dank

Kann deinen Lösungsweg nach vollziehen

Aber wäre wohl nicht von selbst auf das richtige Gleichungssystem gekommen

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Kurze Frage noch:

Wie würde man den Vorgehen wenn man nur eine/drei extremalstellen kennen würde?

Gut bei drei Punkten wird es so gehen wie mit 2 Punkten.

Aber wenn man nur eine extremalstelle kennt???

Dann hat man ja nur 1 Gleichung oder?

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Bei drei Extremstellen müsste die Funktion x^4 enthalten.

Du brauchst immer so viele Informationen, wie du Unbekannte hast.

Bei einem Extremum muss also noch eine Information da sein, oder es ist eine Parabel mit x².