Rechnen mit Matrix, Determinante, 5x5, Inverse bestimmen

Question

Aufgabe:

Seien

$$B=\left(\begin{array}{lllll} {0} & {1} & {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} & {0} \\ {1} & {0} & {0} & {0} & {1} \end{array}\right)$$

$$C=\left(\begin{array}{ccccc} {0} & {1} & {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} & {5} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {-2} & {0} & {0} & {0} \\ {1} & {0} & {0} & {0} & {1} \end{array}\right)$$ a) Bestimmen Sie detC, det(C -1 ) und det(C 5 ) b) Berechnen Sie mithilfe von B -1  die Lösungen \( \vec{x} \) und X von $$ B \vec{x}=\left(\begin{array}{l} {2} \\ {0} \\ {2} \\ {0} \\ {2} \end{array}\right) \quad \text { und } \quad B X=C $$

c) Wie hätten Sie \( \vec{x} \) oder X berechnen können, ohne zunächst B^-1 zu bestimmen ?

Problem/Ansatz:

!

Ich weiß mal wieder nicht wie ich diese Aufgabe hier lösen soll. Hoffe mir kann jemand von euch helfen !

Comments

Hallo
eine Det. mit so vielen Nullen ist so einfach.Schreib die nötigen Unterdet. auf und löse die auf.
Gruß lul

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Was ist mit det(C 5) gemeint? Heißt das mal 5 oder fehlt da ein Rechenzeichen?

Das "B-1" soll vermutlich \(B^{-1}\) heißen?

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Oh das ist mir nicht aufgefallen, das sind eigentlich alles Hochzahlen, keine Ahnung wieso es das geändert hat, bin mir sicher das es in der Vorlage richtig war.

Es ist also det(C⁵) det(C^-1) und auch B^-1 .

Schonmal danke für eure Antworten. Ich bin noch nicht Zuhause, ich denke die a) bekomme ich hin muss mich allerdings noch ein bisschen informieren, mir geht es hauptsächlich um b) und c) da ich die nicht verstehe. Ich weiß nicht wie ich \( \vec{x} \) und X mit B^-1 ausrechnen kann, und folglich weiß ich erstrecht nicht wies ohne geht.

Answer 1

Aloha :)

Nachdem wir nun wissen, dass es sich bei den Determinanten um Hochzahlen handelt, musste ich meine Antwort nochmal modifizieren:

zu a) Berechnung der Determinanten

$$\text{det}(C)=\left|\left(\begin{array}{ccccc} {0} & {1} & {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} & {5} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {-2} & {0} & {0} & {0} \\ {1} & {0} & {0} & {0} & {1} \end{array}\right)\right|\stackrel{Sp.3}{=}\,\left|\left(\begin{array}{ccccc} {0} & {1} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {5} & {0} \\ {0} & {-2} & {0} & {0} \\ {1} & {0} & {0} & {1} \end{array}\right)\right|$$$$\phantom{\text{det}(C)}\stackrel{Ze.3}{=}\,2\cdot\left|\left(\begin{array}{ccccc} {0} & {0} & {1} \\ {1} & {5} & {0} \\ {1} & {0} & {1} \end{array}\right)\right|\stackrel{Sp.2}{=}\,2\cdot5\cdot\left|\left(\begin{array}{ccccc} {0} & {1} \\ {1} & {1} \end{array}\right)\right|=2\cdot5\cdot(0\cdot1-1\cdot1)=-10$$$$\text{det}\left(C^{-1}\right)=\frac{1}{\text{det}(C)}=-\frac{1}{10}$$$$\text{det}\left(C^5\right)=\left(\text{det}(C)\right)^5=-100\,000$$

zu b) Lösen des Gleichungssystems mit der Inversen

Berechnung von \(B^{-1}\):$$\overbrace{\left(\begin{array}{c} {0} & {1} & {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} & {0} \\ {1} & {0} & {0} & {0} & {1} \end{array}\right)}^{B}\quad\overbrace{\left(\begin{array}{c} {1} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {1} \end{array}\right)}^{B^{-1}}\quad\begin{array}{c} {-Z_4} \\ {-Z_5} \\ {} \\ {} \\ {}\end{array}$$$$\overbrace{\left(\begin{array}{c} {0} & {0} & {0} & {0} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {1} & {-1} \\ {0} & {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} & {0} \\ {1} & {0} & {0} & {0} & {1} \end{array}\right)}^{B}\quad\overbrace{\left(\begin{array}{c} {1} & {0} & {0} & {-1} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} & {-1} \\ {0} & {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {1} \end{array}\right)}^{B^{-1}}\quad\begin{array}{c} {} \\ {+Z_1} \\ {} \\ {} \\ {-Z_1}\end{array}$$$$\overbrace{\left(\begin{array}{c} {0} & {0} & {0} & {0} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} & {0} \\ {1} & {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right)}^{B}\quad\overbrace{\left(\begin{array}{c} {1} & {0} & {0} & {-1} & {0} \\ {1} & {1} & {0} & {-1} & {-1} \\ {0} & {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1} & {0} \\ {-1} & {0} & {0} & {1} & {1} \end{array}\right)}^{B^{-1}}\quad\begin{array}{c} {\to Z_5} \\ {\to Z_4} \\ {} \\ {\to Z_2} \\ {\to Z_1}\end{array}$$$$\overbrace{\left(\begin{array}{c}{1} & {0} & {0} & {0} & {0} \\{0} & {1} & {0} & {0} & {0} \\{0} & {0} & {1} & {0} & {0} \\{0} & {0} & {0} & {1} & {0} \\{0} & {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right)}^{B}\quad\overbrace{\left(\begin{array}{c}{-1} & {0} & {0} & {1} & {1} \\{0} & {0} & {0} & {1} & {0} \\{0} & {0} & {1} & {0} & {0} \\{1} & {1} & {0} & {-1} & {-1} \\{1} & {0} & {0} & {-1} & {0} \end{array}\right)}^{B^{-1}}\quad\begin{array}{c} {} \\ {} \\ {} \\ {} \\ {}\end{array}$$Anwendung zum Lösen der Gleichungen:$$\vec x=B^{-1}\left(\begin{array}{c}2\\0\\2\\0\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{-1} & {0} & {0} & {1} & {1} \\{0} & {0} & {0} & {1} & {0} \\{0} & {0} & {1} & {0} & {0} \\{1} & {1} & {0} & {-1} & {-1} \\{1} & {0} & {0} & {-1} & {0} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\0\\2\\0\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\2\\0\\2\end{array}\right)$$$$X=B^{-1}C=\left(\begin{array}{c}{-1} & {0} & {0} & {1} & {1} \\{0} & {0} & {0} & {1} & {0} \\{0} & {0} & {1} & {0} & {0} \\{1} & {1} & {0} & {-1} & {-1} \\{1} & {0} & {0} & {-1} & {0} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccc} {0} & {1} & {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} & {5} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {-2} & {0} & {0} & {0} \\ {1} & {0} & {0} & {0} & {1} \end{array}\right)$$$$\phantom{X}=\left(\begin{array}{ccccc} {1} & {-3} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {-2} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {3} & {0} & {5} & {0} \\ {0} & {3} & {0} & {0} & {1} \end{array}\right)$$

c) Zum Beispiel mit dem Gauß-Verfahren.

Comments

Ach so geht das, vielen Dank !! Bei der a) ist mir jedoch ein Fehler unterlaufen, in meinem anderen Kommentar von gerade eben steht schon was genau, allerdings bekomme ich die det der inversen von C bestimmt selbst raus.

Also nochmal vielen Dank für die Hilfe!

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Nach deiner Info mit den Hochzahlen habe ich die a) nochmal angepasst. Jetzt solltest du alles haben zum Verstehen. Wenn nicht, frag einfach nochmal nach.