Maximales Rechteck unter gebrochenrationaler Funktion

Question

Hallo,

Ich habe die Funktion

f(x)= (9-x^2)/(x^2+3).

Nun soll ich den Flächeninhalt des maximalen Rechtecks finden. Es ist achsenparallel und wird von dem Graphen f und der x-Achse eingeschlossen.

Nun hab ich die Hauptbedingung A=a*b festgelegt. Dann hab ich den Eckpunkten die Buchstaben A (unten links) bis D (oben links gegeben). Für B habe ich (x₁|0), da B auf der x-Achse liegt, also y=0 hat. Für C darüber habe ich (x₁|f(x₁)), da es ja direkt über B liegt. Bei A hab ich        (-x₁|0), da es ja der negative x Wert von B ist und bei D habe ich dann (-x₁|f(x₁)).

a ist bei mir parallel zu x-Achse und ergibt sich dementsprechend aus B_x-A_x, also        x₁-(-x₁). Das ist dann 2x₁

b ist die Parallele zur y-Achse. Also ist es C_y-B_y=f(x₁) - 0

Wenn man das jetzt in die Gleichung A=a*b einsetzt kommt ja A(x₁)=2x₁*f(x₁)

Bei f(x₁) hab ich dann meine Funktion mit x₁ eingesetzt und zusammengefasst. Da kommt dann raus (18x₁-x₁)/(x₁^2+3) raus. Jetzt hat man mir gesagt, setzt man die x-Koordinate des Hochpunktes ein, der ist bei H(0|3). Allerdings kommt dann 0 raus, was ja eigentlich der maximale Flächeninhalt sein soll.

Macht meine Denkweise Sinn, oder ist irgendwo ein Fehler?

Danke schonmal:)

Comments

Die Denkweise bis zum Ansatz der Zielfunktion ist gut. Ich würde die Variable nicht unbedingt x₁ nennen, aber das ist nebensächlich. Du hast nur beim Berechnen des Terms vermutlich keine Klammern im Zähler gesetzt, das müsste 18 x₁ - 2x₁³ sein. Und ab da ist es "nur noch" die Ermittlung des Maximums der Funktion.

Answer 1

(18x₁-x₁)/(x₁²+3)  ist nicht ganz richtig,  das müsste

(18x₁-2(x₁)³)/(x₁²+3)  heißen.

Das mit dem Hochpunkt hast du falsch verstanden.

Du musst nicht von der gegebenen Funktion, sondern von deiner Zielfunktion den Hochpunkt bestimmen.

Comments

Nun habe ich als Flächeninhalt ≈4,53

Ist das so richtig?

Hätte es noch einen leichteren Weg gegeben darauf zu kommen?