Beispiel zur Kombinatorik: Eine Gruppe von 20 Schülern soll auf 3 Gruppen mit 8, 7 bzw. 5 Schülern aufgeteilt werden.

Question

ich habe hier ein Bsp: Eine Gruppe von 20 Schülern soll auf 3 Gruppen mit 8, 7 bzw. 5 Schülern aufgeteilt werden. Auf wie viele Arten ist das möglich?

Da hier ja die Reihenfolge nicht berücksichtigt werden kann, muss man doch die Kombination verwenden oder?

Gruppe 1 hat 8 Schüler, Gruppe 2 hat 7 Schüler und Gruppe 3 hat 5 Schüler.

Ich weiß nur, dass ich die Kombination brauche, aber wie soll ich dann weiter vorgehen? ich kann mich da gar nicht reindenken irgendwie :(.

mfg

Mr-Maths

Answer 1

ist Dir der Binomialkoeffizient (n über k) bekannt? Er gibt an, wie viele verschiedene k-elementige Teilmengen man aus einer n-elementigen Menge bilden kann.

Formel: (n über k) = n! / [k! * (n-k)!]

(So kann man zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit dafür ausrechnen, im Lotto 6 aus 49 sechs Richtige zu haben:

49 über 6)


Wir berechnen zuerst, wieviele verschiedene 8-elementige Teilmengen wir bilden können:

(20 über 8) = 20! / [8!  * 12!] = 125.970

Bei jeder dieser Teilmengen bleiben 12 andere Schüler über, für die wir jetzt die mögliche Anzahl der 7-elementigen Teilmengen berechnen:

(12 über 7) = 12! / [7! * 5!] = 792

Aus den verbliebenen 5 Schülern kann man nur eine einzige Teilmenge bilden.

Insgesamt haben wir also:

125.970 * 792 * 1 = 99.768.240 Möglichkeiten.


Erstaunlich, nicht wahr?


Besten Gruß

Comments

Warum muss man denn diese Teilmengen dann multiplizieren? Also was ist der Sinn dabei?

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Warum muss man denn diese Teilmengen multiplizieren?

Wenn einem so etwas nicht unmittelbar einleutet, ist es sinnvoll, sich das Ganze mit kleinen Zahlen klarzumachen:

6 Schüler insgesamt, eine Gruppe zu 3 Schülern, eine zu zwei und eine zu eins.

(6 über 3) = 6! / (3! * 3!) = 20, nämlich:

123

124

125

126

134

135

136

145

146

156

234

235

236

245

246

256

345

346

356

456

Nun bleiben in der ersten Kombination die Schüler

4, 5 und 6 übrig

Aus diesen kann man (3 über 2) = 3! / (1! * 2!) = 3 zweielementige Gruppen bilden, nämlich:

45

46

56

In der zweiten "großen" Kombination bleiben aber 3 andere Schüler übrig, nämlich

3, 5 und 6

aus denen man wieder 3 zweielementige Gruppen bilden kann.

Und so geht das immer weiter.

Deshalb gäbe es in diesem Beispiel
20 * 3 * 1 = 60 Möglichkeiten.


Jetzt etwas klarer?

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Hm, noch nicht so ganz. Was bedeuten diese Zahlenschlange?

123

124

125

126

134

135

136

145

146

156

234

235

236

245

246

256

345

346

356

456

 

Ich verstehe nicht ganz, was diese Zahlen aussagen.

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Ich habe die Schüler Andreas, Bernd, Christian, Dieter, Erich und Gerd :-)

einfach mit 1 bis 6 durchnummeriert:

123 heißt also: Ich habe eine Dreiergruppe gebildet aus Andreas, Bernd und Christian.

124: Andreas, Bernd und Dieter etc.

Answer 2

Eine Gruppe von 20 Schülern soll auf 3 Gruppen mit 8, 7 bzw. 5 Schülern aufgeteilt werden. Auf wie viele Arten ist das möglich?

Als erstes bestimmst du 8 Schüler für die 1. Gruppe.

Geht auf (20 tief 8) Arten.

Dann von den restlichen 12 Schülern 7 für die 2. Gruppe wählen:

Geht auf (12 tief 7) Arten.

Die restlichen bilden automatisch die 3. Gruppe:

Geht nur noch auf eine Art.

Insgesamt kommt man auf

(20 tief 8)*(12 tief 7)*1=

20! /( 8!*12!) * 12!/(7! * 5!) * 1     |kürzen

= 20!/(8!*7!*5!)

Das kannst du noch mit dem Taschenrechner ausrechnen.

An dieser Formel kannst du schön erkennen, dass es nicht drauf ankommt, welche Gruppe als erstes 'aufgefüllt' wird. (Vorausgesetzt das die Gruppen unterschiedliche Grösse haben, wie in deiner Frage)

Comments

20!/(8!*7!*5!) sieht doch wie eine Permutation mit Wiederholung aus? Aber was wiederholt sich da bitte?

Und außerdem wird bei der Permutation ja die Reihenfolge berücksichtigt. Aber in diesem Bsp ist doch die Reihenfolge egal.