Extrema und Ableitungen

Question

Aufgabe:

Sei f:[a,b]→R zweimal differenzierbar. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

(1)- Wenn f¹(x₀)= 0 und f²(x₀) > 0 mit x₀ ∈ ]a,b[, dann besitzt f in x₀ ein lokales Maximum.

(2)- Wenn f in x₀ ein globales Minimum annimmt, dann gilt f²(x₀) > 0.

(3)- Wenn f¹(x₀) = 0 gilt, dann nimmt f in x₀ ein globales Extremum an.

(4)-  Wenn f in x₀ ein globales Extremum annimmt mit x₀ ∈ [a,b], dann gilt f¹(x₀) = 0.

(5)- Wenn f in x₀ ein lokales   Extremum annimmt mit x₀ ∈ ]a,b[, dann gilt f¹(x₀)=0.

(6)- Wenn f¹(x₀) =0 und f² (x₀) >0 mit x₀∈]a,b[, dann besitzt f in x₀ ein lokales Minimum.

(7)-  Wenn f in x₀ ein lokales Minimum annimmt, dann gilt f²(x0) > 0.

(8)- Wenn f¹(x₀) =0 gilt, dann nimmt f in x0 ein lokales Extremum an.

Answer 1

(1)- Wenn f1(x0)= 0 und f2(x0) > 0 mit x0 ∈ ]a,b[, dann besitzt f in x0 ein lokales Maximum.

falsch
(2)- Wenn f in x0 ein globales Minimum annimmt, dann gilt f2(x0) > 0.

falsch

(3)- Wenn f1(x0) = 0 gilt, dann nimmt f in x0 ein globales Extremum an.
falsch

(4)-  Wenn f in x0 ein globales Extremum annimmt mit x0 ∈ [a,b], dann gilt f1(x0) = 0.
falsch

(5)- Wenn f in x0 ein lokales   Extremum annimmt mit x0 ∈ ]a,b[, dann gilt f1(x0)=0.
wahr

(6)- Wenn f1(x0) =0 und f2 (x0) >0 mit x0∈]a,b[, dann besitzt f in x0 ein lokales Minimum.

wahr

(7)-  Wenn f in x0 ein lokales Minimum annimmt, dann gilt f2(x0) > 0.

falsch

(8)- Wenn f1(x0) =0 gilt, dann nimmt f in x0 ein lokales Extremum an.

falsch