Aloha :)
Wir lassen die Matrix \(S=\left(\begin{array}{c}0 & -1 & 0\\-1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\) auf den Punkt \(K(-4|2|4)\) bzw. den zugehörigen Vektor \(\vec k\) wirken:$$\vec k'=\left(\begin{array}{c}0 & -1 & 0\\-1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-4\\2\\4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\4\\4\end{array}\right)$$Die Spiegelebene \(E\) liegt genau in der Mitte der Strecke \(\overline{KK'}\) und steht senkrecht auf dem Vektor \(\overrightarrow{KK'}\):
$$\overrightarrow{KK'}=\vec k'-\vec k=\left(\begin{array}{c}-2\\4\\4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-4\\2\\4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\2\\0\end{array}\right)$$Der Mittelpunkt \(\vec m\) der Strecke \(\overline{KK'}\) liegt bei
$$\vec m=\vec k+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{KK'}=\left(\begin{array}{c}-4\\2\\4\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}2\\2\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\2\\4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\3\\4\end{array}\right)$$Damit können wir die Ebenengleichung bestimmen:
$$\overrightarrow{KK'}\cdot\vec x=\overrightarrow{KK'}\cdot\vec m$$$$\left(\begin{array}{c}2\\2\\0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\2\\0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-3\\3\\4\end{array}\right)$$$$2x+2y=-6+6$$$$\underline{x+y=0}$$Offenbar ist in der Musterlösung ein Vorzeichenfehler.
