Von Potenzreihe auf Funktion schließen

Question

Aufgabe: 3. Ermitteln Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe P(x). Bestimmen Sie die Funktion \( f(x), \) welche im Konvergenzbereich durch diese Potenzreihe beschrieben wird (Hinweise: Summe der geometrischen Reihe).
$$ P(x)=1+\frac{1}{2} x+\frac{1}{4} x^{2}+\frac{1}{8} x^{3}+\frac{1}{16} x^{4}+\cdots $$

Problem/Ansatz: Bei der Aufgabenstellung, die sich im Anhang befindet verstehe ich nicht, wie ich von der Potenzreihe auf die Funktion schließen kann, welche ja durch die Potenzreihe dargestellt ist. Den Konvergenzbereich habe ich schon bestimmt mit -2<x<2. Mein allgemeines Glied ist 1/2^n *x^n.

Meine Idee wäre es nun die Konvergenzbereichswerte in 1/2^n *x^n einzusetzen und aus den einzelnen Partialsummen wieder ein Bildungsgesetz zu machen, welches dann die Funktion darstellen sollte.

Answer 1

$$P(x)=1+\frac{1}{2} x+\frac{1}{4} x^{2}+\frac{1}{8} x^{3}+\frac{1}{16} x^{4}+\cdots$$

$$P(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^k$$

Es gilt für \(|q|<1:   \sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k=\dfrac{1}{1-q}\)

Mit \(q=\frac{x}{2}\) erhalten wir

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^{k}=\dfrac{1}{1-x/2}=\dfrac{2}{2-x} \quad \) für \(|\frac{x}{2}|<1 \quad\text{bzw.}\quad|x|<2 \)

Comments

Kannst du die einzelnen Schritte, wie du zu diesem Ergebnis gekommen bist eventuell erklären? Ich versteh einfach nicht wie man von einer Potenzreihe auf die Funktion schließen kann.

Muss ich meine Konvergenzbereichsgrenzen Für x^n einsetzen?

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Du hast doch selbst den Hinweis auf die geometrische Reihe angegeben.

Vergleich die gegebene Potenzreihe mit der geometrischen Reihe.

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Ich habe meine Antwort erweitert.