Zeigen Sie, dass a×b zu a und b orthogonal ist.

Question

Seien
$$ a=\left(\begin{array}{l} {a_{1}} \\ {a_{2}} \\ {a_{3}} \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{l} {b_{1}} \\ {b_{2}} \\ {b_{3}} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} $$
zwei Vektoren im dreidimensionalen Raum. Das Kreuzprodukt \( a \times b \) ist definiert als
$$ a \times b:=\left(\begin{array}{l} {a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}} \\ {a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}} \\ {a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} $$
(a) Zeigen Sie, dass \( a \times b \) zu \( a \) und \( b \) orthogonal ist.

Answer 1

Aloha :)

Du sollst Folgendes zeigen:$$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec a=0\quad;\quad(\vec a\times\vec b)\cdot\vec b=0$$Das kannst du entweder direkt ausrechnen (vgl. MontyPythons Vorschlag) oder du arbeitest über die Eigenschaften der Determinante. Du kannst das Vektorprodukt mit Hilfe von \(2\times2\)-Determinanten wie folgt schreiben:$$\vec a\times\vec b=\left(\begin{array}{c}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\left|\begin{array}{c}a_2 & b_2\\a_3 & b_3\end{array}\right|\\\left|\begin{array}{c}a_3 & b_3\\a_1 & b_1\end{array}\right|\\\left|\begin{array}{c}a_1 & b_1\\a_2 & b_2\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\left|\begin{array}{c}a_2 & b_2\\a_3 & b_3\end{array}\right|\\-\left|\begin{array}{c}a_1 & b_1\\a_3 & b_3\end{array}\right|\\\left|\begin{array}{c}a_1 & b_1\\a_2 & b_2\end{array}\right|\end{array}\right)$$Das Minus-Zeichen bei der mittleren Determinante kommt durch Vertauschung der beiden Zeilen zustande. Wenn man nun dieses Vektorprodukt skalar mit einem Vektor \(\vec c\) multipliziert, kommt raus:

$$\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c=\left|\begin{array}{c}a_2 & b_2\\a_3 & b_3\end{array}\right|\cdot c_1-\left|\begin{array}{c}a_1 & b_1\\a_3 & b_3\end{array}\right|\cdot c_2+\left|\begin{array}{c}a_1 & b_1\\a_2 & b_2\end{array}\right|\cdot c_3=\left|\begin{array}{c}a_1 & b_1 & c_1\\a_2 & b_2 & c_2\\a_3 & b_2 & c_3\end{array}\right|$$Die \(2\times2\)-Matrizen multipliziert mit den Komponenten von \(c_1,c_2,c_3\) bilden gerade die Entwicklung der \(3\times3\)-Determinante nach der letzten Spalte.

Wenn \(\vec c=\vec a\) oder \(\vec c=\vec b\) ist, hat die Determinante 2 gleiche Spalten und ihr Wert ist \(=0\).

Comments

Hallo, wie zeigt man

dass genau dann a×b= 0 gilt, wenn a und b linear abhängig sind

Ich danke im Voraus;)

Answer 2

Bilde das Skalarprodukt \(\vec a \cdot (\vec a\times \vec b)\). Du wirst sehen,dass das Ergebnis Null ist, d.h. die Vektoren sind orthogonal zueinander.

Dasselbe mit \(\vec b \cdot (\vec a\times \vec b)\)