Funktion f(x) = 1/(x^2-x) steigend oder fallend?

Question

Ich verstehe nicht, wie man auf monton fallend bei 0.5/1 kommt? Die 0.5 ist mir schon klar, aber wie kommt man auf die 1?

\( f(x) = \frac{1}{x^2-x} \\ u(x) = 1 \\ u'(x) = 0\\ v(x) = x^2-x \\ v'(x) = 2x-1 \\ f'(x) = \frac{ \cancel{(x^2-x)}-(2x-1) }{ (x^2-2)^{ \cancel{2} } } = \frac{-(2x-1)}{(x^2-x)} \\ -2x-1=0 \\ 2x=1 \quad |:2 \\ x = \frac{1}{2} \)

Comments

Welche Funktion untersuchst du auf "monton fallend"?

Answer 1

f(x)=\( \frac{1}{x^2-x} \)

u=1    u'=0

v=x²-x  v'=2x-1

f '(x)=\( \frac{u'v-uv'}{v^2} \) =\( \frac{0-(2x-1)}{(x^2-x)^{2}} \)

f '(x)=0; ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist (und der Nenner nicht).

-2x+1=0

1=2x

\( \frac{1}{2} \) =x.

Graph:

Rechts von x=1/2 fällt der Graph im Definitionsbereich. Bei x=1 liegt allerdings eine Definitionslücke, sodass insgesamt keine Monotonie vorliegt, sondern nur abschittsweise.

Answer 2

hallo anna,
schon deine Ableitung ist falsch
f (x ) = 1 / ( x^2 - x )
braucht nicht nach der Qutientenregel gelöst werden
sondern manchmal geht auch die ( einfachere ) Produktregel.
Umformen zum Produkt
f ( x ) = 1 * ( x^2 - x )^(-1)
f ( x ) = ( x^2 - x )^(-1)
f ´( x ) = -1 * ( x^2 - x ) ^(-1-1) * ( 2x - 1 )
als Bruch

f ´( x ) = -1 * ( 2x - 1 ) / ( x^2 - x ) ^(--1-1)
f ´( x ) = - ( 2x - 1 ) / ( x^2 - x ) ^2

Fallend
f ´( x ) < 0 ( negativ )
der Nenner ist durch das Quadrat stets positiv
also muß der Zähler negativ sein.
Zähler : - (  2x - 1 ) < 0 | * -1
2x - 1 > 0
2x > 1
x > 1/2
Im Bereich 1/2 bis +∞ ist die Funktion fallend.

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Es fällt auf das du viele Fragen stellst.
Prinzipiell ist dies löblich.
Ich frage mich nur ob du die ganzen Antworten
auch verdauen kannst.
Trotzdem : bilde dich mit dem Matheforum weiter.

Bei Bedarf auch bei dieser Frage : nachfragen
wenn etwas unklar ist.

Comments

Hallo Georg,

Bei

^ (--1-1)

fehlt eine Klammerung. Du meintest

^ (- (-1-1)) = ^ 2