Ganzrationale Funktion, Sachaufgabe, Ballon

Question

die Aufgabe lautet : Die Funktion f (t) = t³ - 24 t² + 144t beschreibt näherungsweise die Höhe eines Heißluftballon für die ersten 17 Minuten nach dem Start. t ist dabei die Zeit in Minuten nach dem Start um 6:30 Uhr morgens , f(t) gibt die Höhe des Ballons in Metern an.

a) Kurz nach dem Start muss der Ballon noch einmal zur Erde zurück und berührt kurz den Boden. Berechne, um wieviel Uhr diese Zwischenlandung erfolgt.

b) Berechne f ' ( 16) und erkläre ,was dieser Wert im gegebenen Sachzusammenhang bedeutet.

c) Berechnen die maximale Höhe , auf die der Ballon vor der Zwischenlandung angestiegen war .Um wieviel Uhr hatte er sie erreicht?

d) Berechne, wann der Ballon am schnellsten gesunken ist. Wie schnell fällt er zu diesem Zeitpunkt ab?

Answer 1

a) Kurz nach dem Start muss der Ballon noch einmal zur Erde zurück und berührt kurz den Boden. Berechne, um wieviel Uhr diese Zwischenlandung erfolgt.

f(t) = t^3 - 24·t^2 + 144·t = t·(t - 12)^2 = 0 --> t = 0 ∨ t = 12

Nach 12 Minuten also um 6:42 Uhr erfolgt nochmal eine kurze Zwischenlandung.

b) Berechne f ' ( 16) und erkläre ,was dieser Wert im gegebenen Sachzusammenhang bedeutet.

f'(t) = 3·t^2 - 48·t + 144
f'(16) = 144 m/min

Nach 16 Minuten beträgt die Steiggeschwindigkeit 144 m/min

c) Berechnen die maximale Höhe , auf die der Ballon vor der Zwischenlandung angestiegen war .Um wieviel Uhr hatte er sie erreicht?

f'(t) = 3·t^2 - 48·t + 144 = 0 --> t = 4 min
f(4) = 256 m

Die maximale Höhe nach 4 Minuten betrug 256 m.

d) Berechne, wann der Ballon am schnellsten gesunken ist. Wie schnell fällt er zu diesem Zeitpunkt ab?

f''(t) = 6·t - 48 = 0 → t = 8 min
f'(8) = -48 m/min

Nach 8 min erreicht der Ballon mit -48 m/min die höchste Sinkgeschwindigkeit.

Answer 2

t^3 - 24 t^2 + 144t = 0

t*(  t^2 - 24t + 144) = 0

t* ( t-12)^2 = 0

t=0 oder t=12

Also ist die Bodenberührung nach 12 Min.

f ' (t) = 3t^2 - 48t + 144   ==>  f ' (16) = 144 bedeutet:

nach 16 Min. steigt er mit 144m pro Minute.

c)   f ' (t) = 0 <=>  t= 4 oder t=12

f ' ' (4) = -24 < 0 also Max. bei t=4 .

Nach 4 Min ist die höchste Höhe vor der

Bodenberührung erreicht. Diese ist f(4) = 256

und wird 4 Min. nach dem Start also um 6:34 h erreicht.

d) f ' ' (t) = 0 <=> t=8

Um 6:38 fällt er am schnellsten und zwar um f ' (8)= -48

also um 48m pro Minute.

Answer 3

a) Kurz nach dem Start muss der Ballon noch einmal zur Erde zurück und berührt kurz den Boden. Berechne, um wieviel Uhr diese Zwischenlandung erfolgt.

f ( t ) = t^3 - 24* t^2 + 144*t

Für den Berührpunkt gilt
f ( t ) = 0
t = 12 min
und Überprüfung mit
f ´ ( t ) = 0
t = 12 min

b) Berechne f ' ( 16) und erkläre ,was dieser Wert im gegebenen Sachzusammenhang bedeutet.

Ist die Steig- oder Sinkgeschwindigkeit bei t = 16 min
f ´( 16 ) = 144 m/min

c) Berechnen die maximale Höhe , auf die der Ballon vor der Zwischenlandung angestiegen war .Um wieviel Uhr hatte er sie erreicht?

Stelle mit waagerechter Tangente
f ´( t ) = 0
t = 4 m

f ( 4 ) = 256 m

d) Berechne, wann der Ballon am schnellsten gesunken ist. Wie schnell fällt er zu diesem Zeitpunkt ab?

Frage nach den Wendepunkten.

f ´´ ( t ) = 0

t = 8 min

Sinkgeschwindigkeit
f ´ ( 8 ) = ???

Die Fragen sind nicht alle komplett beantwortet.

Ein bißchen kannst du auch noch tun.

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