Stellen Sie fest, fur welche Werte ¨ a ∈ R die Matrix A invertierbar ist

Question

A :=   (  1    2    4
           3    0    a
          −1   0    1      )             ∈ R^^(3×3)
a) Stellen Sie fest, fur welche Werte ¨ a ∈ R die Matrix A invertierbar ist.
b) Berechnen Sie im invertierbaren Fall die inverse Matrix A^(−1)
.
c) Berechnen Sie im invertierbaren Fall die Lösung x des Gleichungssystems
Ax =  ( 3

         a

         0)

 .
(Die Lösung hängt naturlich von ¨ a ab.)

könnten Sie bitte die Frage lösen und bisschen erklären

ich wäre Dankbar

Answer 1

Hallo,

zu a)

bringe die Matrix A auf Stufenform. Dann kannst du sehen, für welches \( a \in \mathbb{R} \) die Matrix vollen Rang hat, für diese ist sie dann invertierbar.

Ich komme drauf, dass für  \( 3 + a \neq 0 \) die Matrix invertierter ist.

Comments

Alternativ kann man auch die Determinanten bestimmen und schauen, wann diese ungleich Null ist.

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Ist hier sogar insbesondere schön, da wir zwei Nullen in der zweiten Spalten haben.

Answer 2

Hallo,

ein alternativer Weg ist zu schauen für welche \(a\in \mathbb{R}\) die Determinante gleich Null ist. Dafür verwenden wir den Laplaceschen Entwicklungssatz nach der 2. Spalte:$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4\\ 3 & 0 & a \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix} 3 & a \\ -1 & 1 \end{vmatrix}=-2(3+a)=-6-2a\overset{!}=0  \implies a=-3$$ Daher ist \(A\) invertierbar für \(a\in \mathbb{R}\backslash \{-3\}\).

Weiter ist: \(A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{a+3} & -\frac{2a}{a+3} \\ 1 & -\frac{10}{2a+6} & -\frac{12-a}{a+3 } \\ 0 & \frac{2}{a+3} & \frac{6}{a+3}\end{pmatrix}\) Ferner löst man das Gleichungssystem \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ 3 & 0 & a \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\a\\0 \end{pmatrix}\) mit dem Gauß-Algorithmus. Dafür schreibst du das LGS als erweiterte Koeffizientenmatrix. Wenn du Spaß an Determinanten hast, kannst du auch auf Cramer zurückgreifen.