Logarithmische Integration Bruch umschreiben

Question

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ich hänge malwieder bei einer Integralaufgabe fest.

Die Aufgabe ist wie folgt:

$$\int_{}^{}\frac{5x+2}{x^2+2x+10}$$

Im späteren Verlauf wird logarithmisch integriert.

Doch zunächst wird der Bruch wie folgt umgeschrieben:

$$\int_{}^{}\frac{5}{2}\frac{2x+2}{x^2+2x+10}-\int_{}^{}\frac{3}{x^2+2x+10}$$

Der Verlauf nach dem Umschreiben ist mir soweit klar.

Jedoch, kann mir jemand erklären wie man darauf kommt:

$$5x+2 = \frac{5}{2}(2x+2)-3$$

Klar, wenn ich die "Umschreibung" ausmultipliziere sehe ich schon dass das geht. Aber wie kommt man da drauf?

Gibt es hier bestimmte Regeln die ich nicht kenne?

Answer 1

$$\int_{}^{}\frac{5x+2}{x^2+2x+10}$$

Damit im Zähler die Ableitung des Nenners steht,

braucht man im Zähler 2x+2 .

Also erst mal 2,5 ausklammern, das gibt

$$\int_{}^{}2,5*\frac{2x+0,8}{x^2+2x+10}$$

und dann aus der 0,8 eine 2 machen

$$\int_{}^{}2,5*\frac{2x+2-1,2}{x^2+2x+10}$$

und in 2 Integrale aufteilen

$$\int_{}^{}2,5*\frac{2x+2}{x^2+2x+10}- \int_{}^{}2,5*\frac{1,2}{x^2+2x+10}$$

und beim 2. Integral die 2,5 in den Zähler nehmen

$$\int_{}^{}2,5*\frac{2x+2}{x^2+2x+10} - \int_{}^{}\frac{3}{x^2+2x+10}$$

und im 1. Integral rausziehen

$$2,5*\int_{}^{}\frac{2x+2}{x^2+2x+10} - \int_{}^{}\frac{3}{x^2+2x+10}$$