hi! :-)
dein zu großer term könnte zustande gekommen sein, weil du eventuell nicht gesehen hast, dass
sich ein bruch mit dem term
$$ \sqrt{x^2+1}+x $$
kürzen lässt. war das so?
mir ist das nämlich einmal beim rechnen passiert.
erstmal ein paar ableitungen vorbereiten
$$
\left(\sqrt{x^2+1} \right)' = \\
\left((x^2+1 \right)^{\frac{1}{2}} )' = 2x\cdot\frac{1}{2}\cdot(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\
\left(\frac{1}{2}x \sqrt{x^2+1} \right)' = u'v + uv' \\
u = \frac{1}{2}x, u' = \frac{1}{2}, v = \sqrt{x^2+1}, v' = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \\
u'v + uv' = \frac{1}{2}\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}x\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \\
u'v + uv' = \frac{1}{2}\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} = \\
\frac{\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2+1}+x^2}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{2x^2+1}{2\sqrt{x^2+1}} \\
a = \left(\frac{1}{2}x \sqrt{x^2+1} \right)' = \frac{2x^2+1}{2\sqrt{x^2+1}} \\
\left(\frac{1}{2}\ln (x+\sqrt{x^2+1}) \right)' = \frac{1}{2}\left(\left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right)\cdot
\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \right) = \\
\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}\cdot
\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \\
b = \left(\ln (x+\sqrt{x^2+1}) \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \\
$$
die vorbereiteten ableitungen werden eingesetzt.
wir leiten die rechte seite der gleichung wie gefordert ab, dabei
setzen wir die vorbereiteten ableitungen a und b ein und gucken was rauskommt.
$$
\left(\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2} \ln \left(x+\sqrt{x^2+1} \right) + C \right)' = \\
\left(\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1} \right)' + \left(\frac{1}{2} \ln \left(x+\sqrt{x^2+1} \right) \right)' + (C)' = \\
a + b + 0 = \\
\frac{2x^2+1}{2\sqrt{x^2+1}} + \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} = \\
\frac{2x^2+2}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{2(x^2+1)}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}} =
\frac{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2+1}} \\
\frac{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}{x^2+1} = \sqrt{x^2+1}\\
$$
damit haben wir gezeigt, was gefordert war.
gruß
gorgar
