Ableiten eines Integrals (Frage zum Lösungsweg)

Question

Es sei \( F:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) definiert als \( F(x)=\int \limits_{0}^{\sqrt{\ln (1+x)}} e^{-x^{2}} d x \)
Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.

Für alle \( x \in(0, \infty) \) gilt:

(A1) \( F^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x} \)

(A3) \( F^{\prime}(x)=\frac{1+x}{2 \sqrt{\ln (1+x)}} \)

(A2) \( F^{\prime}(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\ln (1+x)}} \)

Ich denke es wird eine Formel geben mit der man dieses Integral bequemer ableiten kann.. aber ich finde leider nicht die richtige.. kann mir jemand auf die Sprünge helfen bzw. zeigen wie man dieses Integral korrekterweise ableitet?

Comments

Die Aufgabe ist leider unsinnig gestellt, denn die Integrationsvariable x darf nicht außerhalb des Integranden auftauchen.

Zumindest sollte man dy statt dx schreiben. Dann ist aber unklar, ob auch der Integrand zu e^-y² werden soll.

Kurz gesagt: F ist nicht wohldefiniert, womit die Aufgabe nicht zu lösen ist.

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Versuch mal in Erfahrung zu bringen, was dein Prof. zum durchaus nachvollziehbaren Einwand von Ché Netzer zu sagen hat, dass die Integrationsvariable nicht außerhalb des Integranden auftauchen darf.

Ich habe eben schon versucht das im Internet zu recherchieren, habe aber nur aus einer sehr fragwürdigen Qualle gefunden das es durchaus erlaubt ist man nur aus Gründen der Verwechslung eine Variable umbenennt. Trotzdem scheint es sonst überall so zu sein das im Integranden eine andere Variable benutzt wird wie in den Interationsgrenzen.  

Also z.B.

∫ _{(0 bis x)} t^2 dt

Answer 1

F(x) = u(v(x))

Dann gilt nach Kettenregel: F'(x) = u'(v(x)) * v'(x)

u(x) = unbekannt brauchen wir aber zum Glück auch nicht.
u'(x) = e^{-x²}

v(x) = √(ln(1 + x))
v'(x) = 1/(2·(x + 1)·√(LN(x + 1)))

F'(x) = e^{-(√(ln(1 + x)))^2} * 1/(2·(x + 1)·√(LN(x + 1))) = 1/(2·(x + 1)^2·√(LN(x + 1)))

Damit ist A2 die richtige Ableitung

Wir merken uns vielleicht mal den recht einfachen Zusammenhang:

(∫ _{(0 bis g(x))} f(x) dx)' = f(g(x)) * g'(x)

Answer 2

mein Vorschlag,

Z(x) = ∫ e^{-x^2} * dx

F(x) = Z ( √( ln(1+x) ) ) - Z(0)

Z(0) ist irgendein fester Betrag und entfällt beim ableiten.

F ´(x) = e^{- (√( ln(1+x))^2 )} l Wurzel und Quadrat heben sich wieder auf

F ´(x) = e^ ( - ln(1+x) ) l e und ln heben sich auf

F ´(x) = 1 / ( 1 + x )

mfg Georg

Comments

Hi georgborn,

ich verstehe nicht ganz, wie Du von Deiner zweiten auf die dritte Rechenzeile kommst?!

Iwo muss auf jedenfalls der Hund begraben sein. Mein TR spuckt zumindest Lösung A2 aus :P.

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der Fehler bei mir war das ich zuerst differenziert habe, auf die
Ausgangsfunktion gekommen bin und dann die obere Integrationsgrenze
eingesetzt habe.

Richtig ist es die obere Integrationsgrenze in F einzusetzen und dann nach
der Kettenregel abzuleiten.

mfg Georg