Frage zum Resultat eines direkten Integrals.

Question

Aufgabe:

\( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}} \) dx = \( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{1}{\sqrt{1-e^{2x}}} \) * e^{x} dx. 

f(x) = \( \frac{1}{\sqrt{x}} \)
g(x) = \(1-e^{2x} \)
g'(x) = \(e^{x} \)


Vorgehen: 

Ich bilde aus f(x) sein Integral F(x):

\( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) dx = arcsin(\( \frac{x}{|a|} \) ) 

Ich setze für x oben das g(x) ein und erhalte: 

arcsin(\( \frac{1-e^{2x}}{|a|} \) )

da |a| = | \(1^{2}\) | = 1 erhalte ich: 

arcsin(\( \frac{1-e^{2x}}{1} \) )

und somit die Lösung: 

arcsin(\(1-e^{2x}\)) + C


Frage:

Die Lösung im Buch ist aber 

arcsin(\(e^{x}\)) + C

Das wäre ja die Form F(g'(x)) und nicht nach Definition vom Direkten Integral F(g(x)).

Answer 1

Hallo

 $$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$$ ist NICHT  arcsin(x)

$$arcsin(x)=\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$$

d.h. dein vorgehen ist falsch, mit der Substitution e^x=u du =e^xdx kommst du auf das richtige Integral

was genau nennt ihr denn "direktes Integral" ich kenne den Begriff nicht, google findet ihn auch nicht.

wenn es was mit Substitution zu tun hat dann wäre dein g(x)=e^x, nur dann ist g'(x)=e^x und du hast $$F(g(x))*g'(x)dx= \frac{1}{\sqrt{1-g(x)^2}}*e^x dx$$

Gruß lul

Comments

Das ist ein Analysis-Lern-Buch.
In einem Analysis Buch mit welchem ich übe ist ein Direktes Integral das erste Kapitel zur Integralrechunung in IR und es ist das erste Thema im Unterkapitel Unbestimmte Integrale. 

Erst danach kommt das Kapitel Partielle Integration. 

Und erst nach parteiller Integration kommt Integrale rationaler Funktionen und erst dann Die Substitutionregel. 

Also in Kapitel und Unterthemen gegliedert sieht es so aus: 

Integralrechnung in IR
- Unbestimmte Integrale
   - Partielle Integration
   - Integrale rationaler Funktionen 
   - Die Substitutionsregel 
   - Integrale mit Substitution 
   - Aufgaben

Bestimmte Integrale 
 - Flächenberechnung

Spezielle Funktionen 
 - Gamma Funktion
 - Beta Funktion 

Riemannsche Summen
 - Riemann Integral 
 - Anwendung von Riemannschen Summen bei der Berechnung von Grenzwerten

Konvergenz uneigenlicher Integrale
... 

Frage:
Was hälst du von diesem Aufbau ? Es ist eher Praxisorientiert mit vielen Beispielen und Aufgaben aber auch Definitionen und Theorie.

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Hallo

 ich finde den Aufbau ziemlich gräßlich, Riemann am Ende , statt am Anfang, es scheint ein Buch zu sein, was hauptsächlich Rezepte vermittelt?

Warum benutzt du das, ist es für Schule oder Studium, musst du dir ohne Schule oder Vorlesung alles aus einem Buch beibringen? wird z.B erklärt, warum das "direkte" Integral funktioniert?

Gruß lul

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Ich brauch es fürs Mathe-Studium.

Ich habe dieses Buch gewählt weil es zum üben von vielen anderen höhersemestrigen empfohlen wird, und ausserdem war der, der das geschrieben hat früher Übungsleiter an dem Ort an dem ich studiere. Deswegen dachte ich es sei sicherlich gut.

Ein weiterer Grund sind die vielen vorgelösten Beispiele (ich erhoffe mir dadurch mit eher schwachen Gymnasium-Vorkentnissen, Chemie-,Bio-Leistungskurs ) Ein gefühl dafür zu entwickeln.

Weil ich Definitionen/Sätze aus dem Skript (zum Beispiel die Linearität eines Integrals) gut verstand weil ich „tausend mal“ bereits in der Schule etwa einen Faktor vor das Integral gezogen habe. Für solche Sachen ist das Buch eigentlich gut. Es hat viele Aufgaben zum selber lösen mit Lösungen am Ende des Buches.

Seine Beispiele sind rezeptartig schritt für schritt gezeigt. Die muss man aber nicht lösen.

Aber zum Direkten Integral selbst,

Ich zitiere:

„Wir können eine allgemeine Formel für solche Integrale mittels der Kettenregel bekommen. Ist F eine stetige Stammfunktion von f, so gilt nach der Kettenregel,

(fοg)‘ = F‘(g(x))*g‘(x) = f(g(x))*g‘(x)“

Es steht noch mehr...

Aber das grosse Manko dieses Buches ist, dass es nicht axiomatisch aufgebaut ist.