Abgeschlossenheit von M zeigen

Question

Sei \(M:=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 | \exp (x^2+y^2)+|z|=2\}\subset \mathbb{R}^3\).

Ist \(M\) abgeschlossen?

Die Lösung ist verblüffend einfach:

Es gilt \(M:=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 :\underbrace{ \exp (x^2+y^2)+|z|}_{:=f(x,y,z)} =2 \}=f^{-1}(\{2\})\). Also ist \(M\) als Urbild der abgeschlossenen Menge \(\{2\}\) abgeschlossen, da \(f\) stetig ist.

Fragen:

Dass \(\{2\}\) abgeschlossen ist, liegt daran, dass einelementige Mengen immer abgeschlossen sind (in metrischen Räumen)?

Ich kenne nur das Schlagwort "stetige Bilder kompakter Räume sind kompakt".Also, dass für eine stetige Abbildung \(f: X\to Y\) zwischen metrischen Räumen und eine kompakte Teilmenge \(K\subset X\) das Bild \(f(K)\) eine kompakte Teilmenge von \(Y\) ist.

Geht das auch andersherum?

Quelle: https://ifm.mathematik.uni-wuerzburg.de/~jordan/Lehrealt/Ana2/L-klausur.pdf

Answer 1

Dass {2} abgeschlossen ist, liegt daran, dass einelementige Mengen immer abgeschlossen sind (in metrischen Räumen)?

Ja, in metrischen Räumen sind einelementigen Mengen abgeschlossen, da ihr einziges Element der Grenzwert konstanter Folge ist. Im Allgemeinen ist es falsch (diskrete Topologie).

Ich kenne nur das Schlagwort "stetige Bilder kompakter Räume sind kompakt".Also, dass für eine stetige Abbildung f:X→Y zwischen metrischen Räumen und eine kompakte Teilmenge K⊂X das Bild f(K) eine kompakte Teilmenge von Y ist.

Geht das auch andersherum?

Nein, {2} ist kompakte Menge in metrischen Raum R, aber das Urbild der konstanten Funktion g(x)=2 ist ganz R, was nicht kompakt, da nicht beschränkt.

wie ist dann "also ist M als Urbild der abgeschlossenen Menge ({2}) abgeschlossen, da f stetig ist." als Rechtfertigung dafür, dass M abgeschlossen ist gemeint?

Der ursprüngliche Begriff einer stetigen Funktion ist bezüglich der Topologie als "Urbilder offener Mengen sind offen" definiert. Man kann zeigen, dass die Stetigkeit einer Funktion ist äquivalent zu "Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen". Hier ist M genau das Urbild  der abgeschlossener Menge  {2} unter stetigen Funktion, also abgeschlossen.

Comments

Hallo,

wie ist dann "also ist M als Urbild der abgeschlossenen Menge ({2}) abgeschlossen, da f stetig ist." als Rechtfertigung dafür, dass M abgeschlossen ist gemeint?

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Hi @racine_carrée, habe die Antwort bearbeitet.

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Vielen Dank, das lag dann doch zu weit im Unterbewusstsein als das ich es noch hätte vorkramen können. Die Topolgie des |R^N werde ich noch einmal rekapitulieren müssen.