Es kommt immer ein Stück weit darauf an, wo zunächst einmal Division erklärt ist. Man betrachtet also eine Menge und darauf erklärte Verknüpfungen (zb Addition, Multiplikation,...). Jetzt kann man sich fragen, welche Eigenschaften mit der betrachteten Menge und die vorherschenden Verknüpfungen gefolgert werden können. Es wäre z.B toll, dass die betrachtete Menge ein Körper (man kann damit vielseitig rechnen) ist oder anders ausgedrückt: Ein kommutativer Ring mit Eins, wobei die Einheitengruppe alle Zahlen aus der Menge sind, außer die 0. Jetzt fängt man einfach mal an, die Ring-Axiome (siehe Link) nachzurechnen.
Jetzt werde ich mal konkreter. Ich betrachte die reellen Zahlen ℝ. Diese Menge ist ein Körper. Jetzt nehmen wir doch einfachmal an, dass es so eine Zahl \( x \in \mathbb{R} \)(wie die jetzt auch immer aussehen mag) gibt, sodass die Gleichung \(x=\frac{1}{0} \in \mathbb{R}\) gilt. Dann gilt auch \( 0\cdot x =1\).
Jetzt betrachte ich die Distributivität. Das ist einer der Ring-Axiome. Dann erhalte ich:
\(1=0\cdot x=(0+0)\cdot x=(0\cdot x)+(0\cdot x)=1+1=2 \in \mathbb{R}\supset \mathbb{N} \). Und das ist ein Widerspruch.
https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_(Algebra)#Definitionen
