Homogene DGL 1. Ordnung lösen

Question

Aufgabe:

Die DGL erster Ordnung soll gelöst werden:

y^2 +yx - x^{2}y'=0

Problem/Ansatz:

-y^2/x^2 -y/x + y' = 0

Answer 1

Hallo,

y^2 +xy -x^2 y'=0 | +x^2 y'

y^2 +xy            = x^2 y'  |: :x^2

y^2/x^2 + y/x= y'

z=y/x

y=z *x

y'= z +z'x

eingesetzt:

z^2 +z= z +z'x

z^2 = z 'x Lösung durch Trennung der Variablen

dx/x= dz/z^2

ln|x|= -1/z +C

Resubstituieren : z=y/x

ln|x|= -x/y+C

Lösung:

y= x/(C -ln|x|)