Vollständige Induktion: Zeige die Ungleichung n^n≥ n! für n Element N+

Question

Vollständige Induktion mit n element aus N+
nⁿ≥ n!

Answer 1

Aloha :)

Das ist eigentlich auch ohne Induktion sofort klar, denn:$$\frac{n^n}{n!}=\frac{n\cdot n\cdot n\cdots n}{1\cdot2\cdot3\cdots n}\ge1$$Wenn du trotzdem Induktion machen musst...

Verankerung \(n=1\):$$n^n=1^1=1\ge1=1!=n!\quad\checkmark$$Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$(n+1)^{n+1}=(n+1)^n\cdot(n+1)>n^n(n+1)\stackrel{I.V.}{\ge}n!(n+1)=(n+1)!\quad\checkmark$$