Interpolationspolynom

Question

 Gegeben seien die Punkte P0(-3,40) , P1(0,4) , P2(1,4). 

Berechnen Sie das zugehörige Interpolationspolynom geringsten Grades und werten Sie dieses an der Stelle -2 aus.

Answer 1

Aloha :)

Gegeben sind die Punkte \(P_0(-3,40)\,,\;P_1(0,4)\,,\,P_2(1,4)\). Daher wählen wir als Ansatz:$$p(x)=A_0+A_1(x-0)+A_2(x-0)(x-1)$$$$\phantom{p(x)}=A_0+A_1x+A_2x(x-1)$$und setzen die Punkte einfach ein:$$4=f(0)=A_0\quad\Rightarrow\quad A_0=4\quad\Rightarrow\quad p(x)=4+A_1x+A_2x(x-1)$$$$4=f(1)=4+A_1\quad\Rightarrow\quad A_1=0\quad\Rightarrow\quad p(x)=4+A_2x(x-1)$$$$40=f(-3)=4+12A_2\quad\Rightarrow\quad A_2=3\quad\Rightarrow\quad p(x)=4+3x(x-1)$$Das kannst du noch umformen zu \(p(x)=3x^2-3x+4\).$$p(-2)=4+3\cdot6=22$$

Answer 2

Hallo,

Das Polynom mit kleinstem Grad durch drei beliebige Punkte ist eine Parabel. Also allgemein:$$p(x)= ax^2+bx+c$$ Setze jedes Paar \((x_i;\, p(x_i))\) in diese Gleichung ein, und Du erhältst ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen$$\begin{pmatrix}9& -3& 1\\ 0& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}40\\ 4\\ 4\end{pmatrix}$$mit der Lösung \(a=3\), \(b=-3\) und \(c=4\) - also$$p(x) = 3x^2 - 3x + 4$$

~plot~ {-3|40};{0|4};{1|4};3x^2-3x+4;[[-5|3|-1|50]] ~plot~

$$p(-2)=22$$