Berechnen Sie zu den Datenpunkten den Wert des entsprechendes Interpolationspolynom an der Stelle x = 0.

Question

Aufgabe:

Sei f : ℝ→ℝ eine beliebig gegebene, dreimal stetig differenzierbare Funktion. Weiterhin seien h > 0 und x0 = h, x1 = 2h, x2 = 3h.
a) Berechnen Sie zu den Datenpunkten den Wert des entsprechendes Interpolationspolynom an der Stelle x = 0.
b) Zeigen Sie die Fehlerabschätzung |p(0)-f(0)| ≤ h³ ||f'''||_∞

Problem/Ansatz:

Bei der a) habe ich die einzelnen Lagrange-Polynome aufgestellt, danach das gesuchte Interpolationspolynom
P(x) = L₀f(x₀) + L₁f(x₁) + L₂f(x₂)
Dann für x = 0 eingesetzt, kommt bei mir raus: 3f(h) - 3f(2h) + f(3h).

Kann das Sinn machen?

Answer 1

Ja, das sieht doch ganz gut aus.

Bekommst du die Fehlerabschätzung hin? Das dürfte mit Taylor gehen.

Comments

Tatsächlich habe ich bei diesen ganzen Fehlerabschätzungen nicht durchgeblickt.

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Dann solltest du das erst noch mal in Ruhe durcharbeiten.

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Rn (hier R₂) ist der Interpolationsfehler.

R2 = |p(0)-f(0)|

R₂ ≤ \( \frac{f'''(ξ)}{(2+1)!} \) (x-x₀)(x-x₁)(x-x₂) = \( \frac{f'''(ξ)}{(2+1)!} \) (x-h)(x-2h)(x-3h) = \( \frac{f'''(ξ)}{6} \) (x³-6hx²+11h²x-6h³)
An der Stelle x = 0 haben wir dann \( \frac{f'''(ξ)}{6} \) -6h³ =||f'''||_∞ -h³ = ||f'''||_∞ h³, da h > 0.

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Setze um negative Faktoren bitte Klammern, sonst wird es als Differenz gelesen. Aber das sieht doch gut aus.