lineare Unabhängigkeit per Gauß berechnen

Question

Aufgabe:

U = {(2a+b+c, a+b, a-b+2c) | a,b,c ∈ R}

W = <(1,-1,1), (-1,0,2)>

Berechne die Basen von U und W

Problem/Ansatz:

Ich kann bei U ausklammern: a(2,1,1)+b(1,1,-1)+c(1,0,2)

Ich setzte die 3 Vektoren nun spaltenweise in die Matrix ein und löse sie nach Gauß:

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix} \)

Es kommt raus, dass die Vektoren linear abhängig sind => ein Vektor rausstreichen, um die Basis zu erhalten

Wenn ich das gleiche nun bei W mache:

\( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \\ 1 & 2\end{pmatrix} \)

Dann bekomme ich als Ergebnis, dass die Vektoren ebenfalls linear abhängig sind, obwohl sie es nach der Lösung nicht sind. Muss ich, wenn ich einen Span habe, die Vektoren Andersherum hineinschreiben:

\( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ -1 & 0 & 2\end{pmatrix} \) ?

Und wenn ja warum? Bei dem ersten musste ich sie doch auch Spaltenweise aufschreiben

Answer 1

Hallo Rainer,

W:

Muss ich, wenn ich einen Span habe, die Vektoren andersherum hineinschreiben:

Nein, die Vektoren in  (1,-1,1)  und  (-1,0,2) }   sind linear unabhängig, sonst müsste einer ein Vielfaches des anderen sein, was offensichtlich nicht der Fall ist.

Nachtrag:

U:

Es kommt raus, dass die Vektoren linear abhängig sind => ein Vektor rausstreichen, um die Basis zu erhalten

Das allein reicht nicht aus.

Wichtig ist, dass der Gauß-Algorithmus für die gegebene Matrix den Rang 2 ergibt (nur eine Nullzeile)

Gruß Wolfgang

Comments

Aber lineare Unabhängigkeit kann man doch normalerweise nachweisen, indem man die Vektoren in eine Matrix füllt und schaut, ob eine Zeile obsolet wird, oder? So hab ich ja herausgefunden, dass die Basis von U nur 2 Basisvektoren enthält. Ist diese Vorgehnsweise richtig?

Würde der Span nun aus mehreren Vektoren bestehen, sodass man es nicht einfach durch Hingucken entscheidbar wäre, ob er linear unabhängig ist: Wie gehe ich dann vor? Würde ich die einzelnen Vektoren spaltenweise in eine Matrix schreiben und per Gauß lösen (wie bei U der Fall)? Oder müsste ich die Vektoren des Span zeilenweise in eine Matrix schreiben und sie dann lösen? Oder ist keine Vorgehensweise korrekt?

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Die Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren = Rang der Matrix.

Rang einer Matrix = Zeilenzahl - Anzahl  der Nullzeilen (nach Gauß).

Bei W also 3-1 = 2     (bzw. 2-0=2 in der Zeilenschreibweise)

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Ich fürchte es gibt hier ein Missverständnis. Meine Frage ist, wenn ich einen Span habe <(1,-1,1),(-1,0,1)> und diesen dann als Matrix aufschreibe (wir nehmen an, dass wir nicht wüssten und nicht sehen, dass er linear unabh. ist):

\( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Wir rechnen: zweite Zeile = zweite Zeile + erste Zeile

und dritte Zeile = dritte Zeile - erste Zeile

nun haben wir:

\( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \)

wir rechnen: dritte Zeile = dritte Zeile + 3*zweite Zeile

nun haben wir:

\( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Was genau sagt mir das nun? Der Rang ist 2 und eine Zeile ist obsolet geworden. Aber würde das als Begründung reichen, dass der Span linear unabh. ist, weil wir haben ja Rang 2 und 2 Vektoren im Span?

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Aber würde das als Begründung reichen, ....

Ja, das würde ausreichen.