Exponentialgleichung 0 = e^x + x

Question

Aufgabe:

Ich möchte die folgende Funktion: f(x) = e^{x} +x deren Nullstelle berechnen:

0 = e^x + x

Nun komme ich nicht weiter....

Also muss ich mich numerisch daran annähern und dies würde ich gerne mit der Lambertschen W- Funktion lösen

-w(1) ist die Lösung und wie bekomme ich ohne jegliche Rechner, die Dezimalzahl raus?

Comments

Warum nimmst du dann die gewünschte Funktion nicht einfach und versuchst einen Ansatz?

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Ob W(1) überhaupt rational ist?

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Ja wie bekomme ich die W(1) gelöst ist ja keine elementare Funktion

Answer 1

Die W-lambert Funktion ist auch nur eine Potenzreihe der Form

$$ W(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-k)^{k-1}}{k!}\cdot x^k=x-x^2+\frac{3}{2}x^3-\frac{8}{3}x^4+\frac{125}{24}x^5+... $$ Entwicklungspunkt x=0. Diese Reihe hat aber nur einen Konvergenzradius von 1/e, also zu klein für x=1.

Du kannst aber auch zb mit dem Newton-Verfahren, Bisektion rangehen. Oder du approximierst deine Funktion. Es gilt nämlich

\( e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot x^k\approx 1+x+\frac{1}{2}x^2 \).

Also hat man \(x+e^x\approx 1+2x+\frac{1}{2}x^2\stackrel{!}{=}0\\x_1\approx -0,585786\\x_2\approx -3,41421 \).

\(x_1\) wäre hier eine gute Näherung.

Comments

Warum ist x1 eine gute annäherung.... ?

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Ok, was das Wort ,,gut" heißt, kommt immer auf den Anwendungsfall an...

Aber, wenn du diesen Wert mal einsetzt, wirst du sehen, dass man zumindest schonmal eine Nachkommastelle mit 0 hat, also

\(e^{x_1}+x_1\approx -0,03\)

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Warum ist x₁ eine gute annäherung.... ?

Damit ist gemeint, dass x2 keine gute Näherung ist, weil die quadratische Näherungsfunktion dort schon deutlich von der e-Funktion abweicht.

Answer 2

Eine Lösung - zwar mit Rechner, aber sehr einfach:

Man kann die Gleichung in der Form

x = - e^x = F(x) schreiben

schreiben. Diese eignet sich für eine Iterationslösung. Setze x₀:= 0 und x_n+1:=F(x_n)

So erhält man die Zahlenfolge x = < 0 , -1 , - 0.3679 , - 0.6922 , - 0.5005 , .... > , welche gegen die gesuchte Lösung konvergiert. Die Konvergenz ist allerdings nicht so gut. Mit der abgeänderten Iterationsfunktion

F(x) := (x - e^x) / 2

erhält man eine deutlich schneller konvergierende Folge.

Fast "blitzartig" ginge es mit  F(x) :=  ( 3 x - 4 e^x ) / 7

(aber darauf muss man auch zuerst mal kommen ...)

Mittels Newton-Verfahren erhält man allerdings noch bessere Konvergenz.